Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $8\pm\sqrt{60}=(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонуудыг ол.

Тооны бутархай хэсэг нь $$\{x\}=x-[x]$$ байна. Энд $[x]$ нь $x$ тооны бүхэл хэсэг буюу $x$-ээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо юм.

Бодолт: $8\pm\sqrt{60}=(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2\Leftrightarrow a+b=8, 4ab=60$ байна. Иймд $(a,b)=(5,3)\lor(3,5)$ байна. Хялбарыг бодож $a=5$, $b=3$ гээд бодъё (нөгөө шийдийн хувьд адил хариу гарна). $$x=\sqrt{(\sqrt5-\sqrt3)^2}=|\sqrt5-\sqrt3|=\sqrt5-\sqrt3$$ $$y=\sqrt{(\sqrt5+\sqrt3)^2}=|\sqrt5+\sqrt3|=\sqrt5+\sqrt3$$ тул $x+y=2\sqrt{5}$, $x-y=-2\sqrt{3}$ тул $$\alpha=\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac{2\sqrt5}{2\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt{15}}{3}$$ $3<\sqrt{15}<4$ тул $-2<\alpha<-1$ ба $[\alpha]=-2$ байна. Иймд $$\{\alpha\}=\alpha-(-2)=\alpha+2$$ байна.