Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Бодолтын дагуу боломжит бүх утгуудыг шалгаж үз.

Бодолт: $1=\dfrac 2a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\leq \dfrac 2a+\dfrac 1a+\dfrac 1a=\dfrac4a\Rightarrow a\le 4$ байна. $a=1,2$ үед тэгшитгэлийн зүүн гар тал 1-ээс их болно. Иймд $a=3$ эсвэл $a=4$ байна.

$a=3$ тохиолдолд $\dfrac13=\dfrac1b+\dfrac1c\le\dfrac1b+\dfrac1b=\dfrac{2}{b}$ тул $b\le 6$ байна. $a\le b$ тул $3\le b\le 6$ байна. $b=3$, $b=5$ бол $c$ натурал тоо байж чадахгүйг шууд шалгаж болно. Иймд $b=4$ үед $$\dfrac23+\dfrac14+\dfrac1c=1\Rightarrow c=12$$ ба $b=6$ үед $$\dfrac23+\dfrac16+\dfrac1c=1\Rightarrow c=6$$ гэсэн шийдүүдтэй.

$a=4$ тохиолдолд $\dfrac12=\dfrac1b+\dfrac1c\le\dfrac1b+\dfrac1b=\dfrac{2}{b}$ тул $b\le 4$ байна. $4=a\le b$ тул $4\le b\le 4$ буюу $b=4$ байна. Энэ үед $$\dfrac24+\dfrac14+\dfrac1c=1\Rightarrow c=4$$ байна.

Иймд тэгшитгэлийн шийдүүд нь $(3,4,12)$, $(3,6,6)$, $(4,4,4)$ байна.