Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $a=\sqrt[3]{6x+4}$, $b=\sqrt[3]{4-6x}$ гэвэл $a^3+b^3=8$ ба $a^3-b^3=12x=4(a-b)$ байна. Хэрвээ $a=b$ бол $6x+4=4-6x\Rightarrow x=0$ болно. Хэрвээ $a\neq b$ бол $$a^3-b^3=4(a-b)\Rightarrow a^2+ab+b^2=4$$ болно. Цаашид $a=u+v$, $b=u-v$ гээд бодно. Энэ үед $x=\dfrac{a-b}{3}=\dfrac{2v}{3}$ байна.

Бодолт: Заавар ёсоор цааш үргэжлүүлбэл $$\left\{\begin{array}{c} (u+v)^2+(u-v)^3=8\\ (u+v)^2+(u+v)(u-v)+(u-v)^2=4 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} u^3+3uv^2=4\\ 3u^2+v^2=4 \end{array}\right.$$ тул $$u^3+3u(4-3u^2)=4\Leftrightarrow 2u^3-3u+1=(u-1)(2u^2+2u-1)=0$$ болно. Иймд $u_1=1$, $u_{2,3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot(-1)}}{4}=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$ болно.

$u_1=1$ үед $v_1=\pm 1$ тул $a=2$, $b=0$ эсвэл $a=0$, $b=2$ болно. Эндээс $x=\pm\dfrac{2}{3}$ гэсэн шийд гарч байна.

$u=\dfrac{-1+\sqrt3}{2}$ үед $$3\cdot\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}+v^2=4\Rightarrow v=\pm\dfrac{\sqrt{4+6\sqrt{3}}}{2}$$ тул $$x=\dfrac{2v}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{4+6\sqrt3}}{3}$$

Харин $u=\dfrac{-1-\sqrt3}{2}$ үед $$3\cdot\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}+v^2=4\Rightarrow v^2=\dfrac{4-6\sqrt{3}}{4}<0$$ тул шийдгүй.

Ингээд шийдүүдээ нэгтгэвэл $x\in \left\{0,\pm\dfrac{2}{3},\pm\dfrac{\sqrt{4+6\sqrt 3}}{3}\right\}$ болно.