Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №6686
$3^{\sin 2x+2\cos^2x}+3^{1-\sin 2x+2\sin^2x}=28$ тэгшитгэлийг хувиргаж $3^{\sin 2x+2\cos^2x}=t$ орлуулга хийвэл $t^2-\fbox{ab}t+\fbox{cd}=0$ тэгшитгэлд шилжих ба $t_1=27, t_2=\fbox{e}$ шийдүүдтэй. Oрлуулгаа буцааж ашиглавал анхны тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k, x=-\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\pi k, k\in \mathbb Z$ шийдүүд олдоно.
abcd = 2827
e = 1
f = 4
g = 2
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 8.93%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$1-\sin 2x+2\sin^2x=3-\sin2x-2\cos^2x$$
Бодолт: $3^{\sin 2x+2\cos^2x}=t$ гэвэл
$$3^{\sin 2x+2\cos^2x}+3^{1-\sin 2x+2\sin^2x}=28\Leftrightarrow t+\dfrac{27}{t}=28$$
буюу
$$t^2-28t+27=0$$
тэгшитгэлд шилж ба $t_1=27$, $t_2=1$ гэсэн шийдтэй. Орлуулгаа буцаавал $3^{\sin2x+2\cos^2x}=3^3$, эсвэл $3^{\sin 2x+2\cos^2x}=3^1$ байна. Эндээс
$$\left[\begin{array}{c}
\sin2x+2\cos^2x=3\\
\sin2x+2\cos^2x=1
\end{array}\right.$$
Эхний тохиолдолд $\sin 2x\le1$, $2\cos^2x\le 2$ тул $\sin 2x=1$, $2\cos^2x=1$ байх ёстой. Эндээс $\sin 2x=1$ буюу $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$ нь шийд болохыг шууд шалгаж болно. Хоёр дахь тохиолдолд
$$\sin2x+2\cos^2x=1\Leftrightarrow \sin2x+\cos 2x=0\Leftrightarrow\tg 2x=-1$$
тул $2x=-\dfrac{3\pi}{4}+\pi n\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}\pi+\pi n$ буюу $x=-\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ ($k=n-1$) болно.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.