Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\sin\left(2\arctg\dfrac 13\right)+\cos\left(\arctg2\sqrt{2}\right)$ хялбарчил.

$\dfrac 45$ B.

$\dfrac1{15}$ C.

$\dfrac 23$ D.

$\dfrac{14}{15}$ E.

$\dfrac 13$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 46.60%

Заавар:

$\tg\alpha=\dfrac13$ ,

$\tg\beta=2\sqrt2$ бол

$\sin2\alpha$ ,

$\cos\beta$ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

Бодолт:

$\alpha=\arctg\dfrac13$ гэвэл

$\tg\alpha=\dfrac13$ байна.

$\sin2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\dfrac{2\cdot\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{9}}=\dfrac{3}{5}$

$\beta=\arctg2\sqrt2>0$ гэвэл

$\beta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ ба

$\tg\beta=2\sqrt2$ байна.

$\tg^2\beta=\dfrac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}=\dfrac{1-\cos^2\beta}{\cos^2\beta}\Rightarrow\cos^2\beta=\dfrac{1}{1 +\tg^2\beta}=\dfrac{1}{9}$ ба

$\beta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ тул

$0<\cos\beta$ байна. Иймд

$\cos\beta=\dfrac{1}{3}$ юм. Эндээс

$\sin\left(2\arctg\dfrac 13\right)+\cos\left(\arctg2\sqrt{2}\right)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{14}{15}$