Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$1+\sin x, \sin^2 x, 1+\sin 3x$ нь $x$ -ийн ямар утганд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

$\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ B.

$(-1)^{k}\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \dfrac{\pi}{2}+\pi k$ C.

$(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{3}+\pi k; \pi +2\pi k$ D.

$\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \dfrac{\pi}{6}+\pi k$ E.

$\dfrac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 43.48%

Заавар:

$a$ ,

$b$ ,

$c$ тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь

$a+c=2b$ байдаг.

$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$

Бодолт:

$1+\sin x, \sin^2 x, 1+\sin 3x$ арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь

$1+\sin x+1+\sin 3x=2\sin^2x$ ба

$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ тул

$s=\sin x$ гэвэл

$2+4s-4s^3=2s^2\Leftrightarrow 2(1-s^2)+4s(1-s^2)=0\Leftrightarrow$

$(2+4s)(1-s^2)=0$ болно.

$1-s^2=\cos^2$ болохыг тооцвол

$2(1+2\sin x)\cos^2x=0$ буюу

$\cos x=0\lor\sin x=-\dfrac12$ болно. Эндээс

$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k$