Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Шийдүүдийн нийлбэр
$\tg x+4\ctg x=4\cosec x$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $4\pi-\arccos\dfrac 13$
B. $4\pi+2\arccos \dfrac 13$
C. $6\pi$
D. $2\pi$
E. $4\pi$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 35.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x},\ \ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\ \cosec x=\dfrac{1}{\sin x}$$ байна.
Бодолт: $$\tg x+4\ctg x=4\cosec x\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{4\cos x}{\sin x}=\dfrac{4}{\sin x}\Leftrightarrow$$
$$\sin^2x+4\cos^2x=4\cos x,\ \sin x\cos x\neq 0\Leftrightarrow$$
$$1+3\cos^2x=4\cos x,\ \sin x\cos x\neq 0$$
байна. $$3\cos^2x-4\cos x+1=(\cos x-1)(3\cos x-1)$$
ба $\cos x=1$ үед $\sin x=0$ тул $\sin x\cos x=0$ тул
$$1+3\cos^2x=4\cos x,\ \sin x\cos x\neq 0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac13$$ байна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь $x=\pm\arccos\dfrac13+2\pi k$ ба $\left]\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүд нь $k=1$ үед $x=\pm\arccos\dfrac13+2\pi$ тул нийлбэр нь $4\pi$ байна.