Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$y=\dfrac{4\arcsin (x^2-4x+2)}{\pi}+5$ функцийн

Тодорхойлогдох муж $x\in \Bigl[\fbox{a}-\sqrt{3};\fbox{b}\Bigr]\cup \Bigl[\fbox{c};\fbox{d}+\sqrt{3}\Bigr],$
Утгын муж $\Bigl[\fbox{e};\fbox{f}\Bigr],$
$x=2+\sqrt{\dfrac52}$ үед $\dfrac 1y=\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{hi}}$.

abcd = 2132

ef = 37

ghi = 317

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 49.38%

Заавар: $y=\arcsin x$ функц нь $x\in[-1;1]$ мужид тодорхойлогдсон утгын муж нь $[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2]$ байдаг өсдөг функц болохыг ашиглан бод.

Бодолт:

Тодорхойлогдох муж нь $-1\le x^2-4x+2\le 1$ буюу $$\left\{\begin{array}{c}x^2-4x+3\ge 0\\ x^2-4x+1\le 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x\le 1\cup x\ge3\\ 2-\sqrt{3}\le x\le 2+\sqrt{3}\end{array}\right.$$ тул $[2-\sqrt3;1]\cup[3;2+\sqrt3]$ байна.
Энэ функцийн хамгийн бага утга нь $x=1;\ 3$ үед $x^2-4x+2=-1$ тул $$\dfrac{4\arcsin(-1)}{\pi}+5=-2+5=3$$ хамгийн их утга нь $x=2\pm\sqrt3$ үед $x^2-4x+2=1$ тул $$\dfrac{4\arcsin 1}{\pi}+5=2+5=7$$ байна. Түүнчлэн тасралтгүй функц тул утгын муж нь $[3;7]$ байна.
$x=2+\sqrt{\dfrac52}$ үед \begin{align*} x^2-4x+2&=x(x-4)+2\\ &=\left(2+\sqrt{\dfrac52}\right)\left(2+\sqrt{\dfrac52}-4\right)+2\\ &=\left(\sqrt{\dfrac52}+2\right)\left(\sqrt{\dfrac52}-2\right)+2\\ &=\dfrac52-4+2=\dfrac12 \end{align*} тул $$y=\dfrac{4\arcsin\frac12}{\pi}+5=\dfrac{4\cdot\frac{\pi}{6}}{\pi}+5=\dfrac{17}{3}$$ байна. Иймд $\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{17}$.