Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=3\cos 3x+4\cos 6x$ функц өгөгдөв.

$\varphi(x)=4\cos 6x-4\sin 3x$ бол $f(x)-\varphi(x)=\fbox{a}\sin \left(\fbox{b}x+\alpha\right)$ болох ба $\alpha =\arccos \dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.
$f(x)=7$ тэгшитгэл $[0;4\pi]$ завсарт $\fbox{e}$ ширхэг шийдтэй ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{f}\pi$, квадратуудын нийлбэр нь $\fbox{gh}\pi^{\fbox{i}}$ байна.

ab = 53

cd = 45

e = 3

f = 6

ghi = 202

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 3.51%

Заавар:

$a\cos x+b\sin x=\sqrt{(a^2+b^2)}\sin(x+\alpha)$ байна. Энд $\alpha$ нь $\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ байх өнцөг байна.
$\cos\alpha\le 1$ тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрэхийн тулд $\alpha=2\pi k$ байна.

Бодолт:

\begin{align*} f(x)-\varphi(x)&=(3\cos 3x+4\cos 6x)-(4\cos 6x-4\sin 3x)\\ &=3\cos3x+4\sin3x=\sqrt{3^2+4^2}\sin(3x+\alpha)\\ &=5\sin(3x+\alpha) \end{align*} болно. $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ тул $\alpha=\arccos\dfrac45$ байна.
$\cos 3x\le 1$, $\cos 6x\le 1$ тул $f(x)=3\cos 3x+4\cos 6x\le 3+4=7$ байна. Тэнцэлдээ хүрэхийн тулд $3x=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$ байна. $x\in[0;4\pi]$ үед $x=0$, $x=2\pi$, $x=4\pi$ гэсэн гурван шийдтэй тул шийдүүдийн нийлбэр нь $6\pi$, шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр нь $4\pi^2+16\pi^2=20\pi^2$ байна.