Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $S(x)=x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n+1}=\dfrac{x^2(x^{n}-1)}{x-1}=\dfrac{x^{n+2}-x^2}{x-1}$ функцийн уламжлалыг хоёр аргаар бод. Бидний олох илэрхийлэл $S^\prime(2)$ юм.

Бодолт: Гишүүнчлэн уламжлал авах аргаар бодвол $$S^\prime(x)=2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n$$ ба нийлбэрийн томьёоноос ноогдворын уламжлал авбал \begin{align*} S^\prime(x)&=\left(\dfrac{x^{n+2}-x^2}{x-1}\right)^\prime\\ &=\dfrac{(x^{n+2}+x^2)^\prime(x-1)-(x^{n+2}-x^2)\cdot(x-1)^\prime}{(x-1)^2}\\ &=\dfrac{((n+2)x^{n+1}-2x)(x-1)-x^{n+2}+x^2}{(x-1)^2}\\ &=\dfrac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}-x^2+2x}{(x-1)^2} \end{align*} болно. Эндээс \begin{align*} S^\prime(2)&=2\cdot 2+3\cdot 2^2+4\cdot2^3+\cdots+(n+1)2^n\\ &=\dfrac{(n+1)2^{n+2}-(n+2)2^{n+1}-2^2+2\cdot 2}{(2-1)^2}\\ &=n2^{n+1} \end{align*} болов.

Заавар: $2S_n-S_n$ нийлбэрийг ол.

Бодолт: \begin{align*} S_n&=2S_n-S_n\\ &=2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+(n+1)\cdot 2^{n+1}-2\cdot2-3\cdot2^2-\cdots-(n+1)\cdot2^n\\ &=(n+1)2^{n+1}-2\cdot 2+(2-3)\cdot 2^2+(3-4)\cdot 2^3+\cdots+(n+1-n)\cdot 2^n\\ &=(n+1)2^{n+1}-4-2^2-2^3-\cdots-2^n=(n+1)2^{n+1}-4-\dfrac{2^2(2^{n-1}-1)}{2-1}\\ &=(n+1)2^{n+1}-4-2^{n+1}+4=n2^{n+1} \end{align*}

Заавар: Хариунаас бод.

Бодолт: $n=2$ үед $S_2=2\cdot2+3\cdot 2^2=16$ ба сонголтууд нь $$\begin{array}{lll} (n+1)2^n & \to & (2+1)\cdot 2^2=12,\\ n2^{n+1} & \to & 2\cdot2^3=16,\\ (n+1)2^{n+1} & \to & (2+1)\cdot 2^3=24,\\ (n-1)2^{n+1} & \to & (2-1)\cdot 2^{3}=8,\\ (n-1)2^{n+1}+4 & \to & (2-1)\cdot 2^3+4=12 \end{array}$$ тул зөвхөн $n2^{n+1}$ л зөв хариулт байх боломжтой юм.