Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Дарааллын хамгийн их гишүүн
$x_n=\dfrac{\sqrt{n}}{100+n}$ дарааллын хамгийн их гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $\dfrac 13$
B. $\dfrac{1}{20}$
C. $\dfrac12$
D. $\dfrac 23$
E. $\dfrac23$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 40.74%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{100+x}$ функцийн өсөх, буурах мужийг ол.
Бодолт: $$f^\prime(x)=\dfrac{(\sqrt x)^\prime(100+x)-\sqrt x\cdot(100+x)^\prime}{(100+x)^2}=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(100+x)-\sqrt x}{(100+x)^2}$$
тул $x>0$ үед
$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(100+x)-\sqrt x>0\Leftrightarrow 100-x>0$$
буюу $0< x<100$ үед өсч, $x>100$ үед буурна. Мөн тасралтгүй функц тул $x=100$ цэг дээр хамгийн их утгаа авч байна. Иймд $\max x_n=x_{100}=\dfrac{\sqrt{100}}{100+100}=\dfrac{1}{20}$