Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Дурын $n$ тооны хувьд $x_n\le y_n\le z_n$ ба $A=\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} z_n$ бол $\lim\limits_{n\to\infty} y_n=A$ байна.

Бодолт: $$\begin{align*} A&=\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})(\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1})}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^3+1)-(n^3-1)}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n^3}}}\\ &=\dfrac{0}{2}=0 \end{align*}$$ байна. Нөгөө талаас $-1\le \cos(n^3)\le 1$ тул $$-(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\le(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)\le (\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})$$ байна. Иймд $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3)=0$