Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №7168
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{b+x}-\sqrt[3]{b-x}}$ хязгаар бод.
A. $0$
B. $\displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[3]{b^2}$
C. $\sqrt[3]{b^2}$
D. $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{b^2}}2$
E. $1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 18.18%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Хуваарийг иррационалаас чөлөөл.
$$a-b=\Big(\sqrt[3]{\mathstrut a}-\sqrt[3]{\mathstrut b}\Big)\Big(\sqrt[3]{\mathstrut a^2}+\sqrt[3]{\mathstrut ab}+\sqrt[3]{\mathstrut b^2}\Big)$$
Бодолт: \begin{align*}
\text{Хязгаар}&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt[3]{b+x}-\sqrt[3]{b-x}}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(b+x)^2}+\sqrt[3]{(b+x)(b-x)}+\sqrt[3]{(b-x)^2})}{(\sqrt[3]{b+x}-\sqrt[3]{b-x})(\sqrt[3]{(b+x)^2}+\sqrt[3]{(b+x)(b-x)}+\sqrt[3]{(b-x)^2})}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(b+x)^2}+\sqrt[3]{(b+x)(b-x)}+\sqrt[3]{(b-x)^2})}{(b+x)-(b-x)}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{(b+x)^2}+\sqrt[3]{(b+x)(b-x)}+\sqrt[3]{(b-x)^2}}{2x}\\
&=\dfrac{\sqrt[3]{(b+0)^2}+\sqrt[3]{(b+0)(b-0)}+\sqrt[3]{(b-0)^2}}{2}\\
&=\dfrac{3\sqrt{b^2}}{2}
\end{align*}