Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $x\to+\infty$ үед $e^{3x}<2+e^{3x}< e^{3x+1}$ ба $e^{2x}<3+e^{2x}< e^{2x+1}$ болохыг ашиглан бод.

Бодолт: Зааварт өгсөн нөхцөл ёсоор $$\dfrac{3x}{2x+1}<\dfrac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}<\dfrac{3x+1}{2x}$$ байна. Тэнцэтгэл бишээс хязгаарт шилжвэл $$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{2x+1}\le\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}\le\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x+1}{2x}$$ буюу $$\dfrac32\le\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}\le\dfrac32$$ тул $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}=\dfrac32$ байна.