Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
Хязгаарыг ол
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
ab =13
Бодлогын төрөл:Нөхөх
Амжилтын хувь:55.56%
Бодлогыг оруулсан: baysaa41@yahoo.com
Бодолт
Заавар:Хүртвэр ба хуваарийг $\sqrt[3]{1+x^2}-1$-ийн хосмог буюу $$(\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1$$
илэрхийллээр үржүүлж бутархайг хялбарчилж бод.
Бодолт:\begin{align*}
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}&=\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt[3]{1+x^2})^3-1^3}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\quad\color{red}{\leftarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x^2-1}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[3]{1+0^2})^2+\sqrt[3]{1+0^2}+1}\\
&=\dfrac{1}{3}
\end{align*}