Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Хүртвэр ба хуваарийг $\sqrt[3]{1+x^2}-1$-ийн хосмог буюу $$(\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1$$ илэрхийллээр үржүүлж бутархайг хялбарчилж бод.

Бодолт: $$\begin{align*} \lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}&=\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt[3]{1+x^2})^3-1^3}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\quad\color{red}{\leftarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x^2-1}{x^2\cdot\big((\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1\big)}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[3]{1+0^2})^2+\sqrt[3]{1+0^2}+1}\\ &=\dfrac{1}{3} \end{align*}$$