Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Орлуулах аргаар бод: $$\int_a^b g[f(x)]\cdot f^\prime(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b g[f(x)]\,\mathrm{d}f(x)=\int_{f(a)}^{f(b)}g(t)\,\mathrm{d}t$$

Бодолт: $f(x)=x^3$, $g(x)=\sqrt[3]{(2-x)^2}$ гээд орлуулгын томьёо ашиглая: $$\begin{align*} \int_0^1 & x^2\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int_0^1(x^3)^\prime\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\dfrac13\int_0^1\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\,\mathrm{d}x^3=\dfrac13\int_{0^3}^{1^3}\sqrt[3]{(2-u)^2}\,\mathrm{d}u\\ &=\dfrac13\int_0^1(2-u)^{\frac23}\,\mathrm{d}u=-\dfrac13\int_0^1(2-u)^{\frac23}\,\mathrm{d}(2-u)\\ &=-\dfrac13\int_{2-0}^{2-1}t^{\frac23}\,\mathrm{d}t=-\dfrac13\int_2^1t^{\frac23}\,\mathrm{d}t=\dfrac13\int_1^2t^{\frac23}\,\mathrm{d}t\\ &=\left[\dfrac13\cdot\dfrac{t^{\frac23+1}}{\frac23+1}\right]\Bigg|_1^2=\dfrac{t^{\frac53}}{5}\Bigg|_1^2=\dfrac{2^{\frac52}}{5}-\dfrac{1^{\frac52}}{5}\\ &=\boldsymbol{\dfrac15(2\sqrt[3]{4}-1)} \end{align*}$$ Бид энэ бодолтонд орлуулгын аргыг 2 удаа ашигласан бөгөөд тодорхой интегралын $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x$$ чанарыг ч бас ашиглав.