Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Полиномын коэффициент
$(x-y+z)^8$ биномын $mx^3y^2z^3$-ын өмнөх $m$ коэффициент аль вэ?
A. $560$
B. $-560$
C. $280$
D. $-280$
E. $256$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 65.17%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$(x_1+x_2+\dots+x_k)^n=\prod_{\substack{(i_1,i_2,\dots,i_k)\\i_1+i_2+\dots+i_k=n}}P(i_1,i_2,\dots,i_k)x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_k^{i_k}$$
үүнийг полиномын томьёо гэх бөгөөд коэффициент нь
$$P(i_1,i_2,\dots,i_k)=\dfrac{(i_1+i_2+\dots+i_k)!}{i_1!i_2!\cdots i_k!}$$
байна.
Бодолт: $x^3y^2z^3$-ын өмнөх коэффициент нь
$$P(3,2,3)=\dfrac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 3!}=\dfrac{4\cdot5\cdot\cancel{6}\cdot7\cdot \bcancel{8}^4}{\bcancel{2}\cdot \cancel{6}}=560$$