Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Бүтэн магадлалын томьёо:

Дурын $A$ үзэгдэл ба хос хосоороо нийцгүй $B_1,B_2,\dots,B_n$ үзэгдлүүдийн хувьд $$A\subseteq B_1+B_2+\dots+B_n$$ нөхцөл биелж байг. Тэгвэл $$P(A)=\sum_{k=1}^n P(B_k)P_{B_k}(A)$$ Энд $P_{B_k}(A)=\dfrac{P(AB_k)}{P(B_k)}$ буюу $B_k$ үзэгдэл илэрсэн гэдэг нь мэдэгдэж байх үед $A$ үзэгдэл мөн илэрсэн байх магадлал юм. Үүнийг нөхцөлт магадлал гэх бөгөөд зарим сурах бичигт $P(A|B_k)$ гэж тэмдэглэдэг.

Бодолт: $B_1$, $B_2$, $B_3$ нь зөрчилтэй ачаа харгалзан 1, 2, 3-р цэгт шалгагдсан байх үзэгдэл, $A$ нь зөрчилтэй ачаа илрэх үзэгдэл гэе. Тэгвэл бодлогын нөхцөл ёсоор $$P(B_1)=\dfrac{50}{100}=\dfrac12,\ P(B_2)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10},\ P(B_3)=\dfrac{20}{100}=\dfrac15$$ ба $$P_{B_1}(A)=\dfrac23,\ P_{B_2}(A)=\dfrac12,\ P_{B_3}(A)=\dfrac23$$ байна. Иймд бүтэн магадлалын томьёогоор $$P(A)=\dfrac12\cdot\dfrac23+\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac12+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac23=\dfrac{37}{60}$$ болно. Иймд $$P_{A}{(B_2)}=\dfrac{P(AB_2)}{P(A)}=\dfrac{P(B_1)\cdot P_{B_2}(A)}{P(A)}=\dfrac{\frac3{10}\cdot\frac12}{\frac{37}{60}}=\dfrac{9}{37}$$

Тэмдэглэл. Бодлогын сүүлийн хэсэгт ашигласан $P_{A}{(B_2)}=\dfrac{P(B_1)\cdot P_{B_2}(A)}{P(A)}$ томьёог Байесийн томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ төрлийн бодлогод өргөн ашиглагддаг.