Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Полиномын томьёо: $$(x_1+x_2+\dots+x_k)^n=\sum\limits_{i_1+i_2+\dots+i_k=n}P(i_1,i_2,\dots,i_k)x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_k^{i_k}$$ байдаг. Энд нийлбэр $i_1+i_2+\dots+i_k=n$ байх бүх $i_1,i_2,\dots,i_k$ сөрөг биш бүхэл тоонуудаар авагдах ба $$P(i_1,i_2,\dots,i_k)=\dfrac{n!}{i_1!i_2!\dots i_k!}$$ байна.

Полиномын томьёо ашиглавал $$(1+x^2-x^3)^9=\sum_{i+j+k=9}\dfrac{9!}{i!\cdot j!\cdot k!} 1^i (x^2)^j(-x^3)^k.$$ $2j+3k=8$ байх $j$, $k$ сөрөг биш бүхэл тоон хосуудыг авч үз.

Бодолт: $2j+3k=8$ байх $j$, $k$ сөрөг биш бүхэл тоон хосуудыг олъё.

$3k\le 8$ тул $k=0$, $k=1$, $k=2$ ба $k=1$ бол $2j=5$ болоход хүрэх тул $k=0$ юмуу $k=2$ л байх боломжтой.

$k=0$ бол $j=4$ ба $i=5$ байна. Харгалзах гишүүн нь $\dfrac{9!}{5!\cdot 4!\cdot 0!} 1^5 (x^2)^4(-x^3)^0=126x^8$.

$k=2$ бол $j=1$ ба $i=6$ байх ба харгалзах гишүүн нь $\dfrac{9!}{6!\cdot 2!\cdot 1!} 1^6 (x^2)^1(-x^3)^2=252x^8$.

Иймд $x^8$-ийн коэффициент нь $126+252=378$ байна.