Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Гурвалжны хоёр тал, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн урт харгалзан $12$ , $24$ , $8\sqrt3$ нэгж бол энэ өнцөг хэдэн градус байх вэ?

$60^\circ$ B.

$75^\circ$ C.

$30^\circ$ D.

$120^\circ$ E.

$45^\circ$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 38.33%

Заавар: Биссектриссийн чанар:

Гурвалжны өнцгийн биссектрис нь эсрэг орших талаа налсан талуудтай нь пропорционал хэсгүүдэд хуваадаг:

$\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC}{AD}\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$

Биссектрисийн урт:

$\ell_c^2=ab-xy$

Бодолт:

$a=12$ ,

$b=24$ ,

$\ell_c=8\sqrt3$ гээд зааварт өгсөн томьёо ашиглавал:

$\dfrac{12}{x}=\dfrac{24}{y},~(8\sqrt3)^2=12\cdot 24-xy$ болно.

$y=2x$ тул

$2x^2=288-192\Rightarrow x^2=48$ ба

$c=3x$ тул

$c^2=9\cdot48=432$ байна. Иймд косинусын теоремоор

$\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{144+576-432}{2\cdot 12\cdot 24}=\dfrac12$ байна. Иймд

$\gamma=60^\circ$ байна.