Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Багтсан тойргийн төвийн өнцөг
$12$, $15$ нэгж талтай гурвалжны гурав дахь тал багтсан тойргийн төвөөс $\arccos\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$ өнцгөөр харагддаг бол энэ өнцгийн эсрэг орших тал хэдэн нэгж вэ?
A. $6$
B. $9$
C. $12$
D. $10$
E. $15$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 43.48%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Багтсан тойргийн төвөөс гурвалжны тал $\alpha$ өнцөгөөр харагдах бол уг талын эсрэг орших оройн өнцөг нь $2\alpha-180^\circ$ болохыг харуул.
Бодолт: 
Багтсан тойргийн төвөөс гурвалжны аль нэг тал $\alpha$ өнцгөөр харагдах бол суурийн хоёр өнцгийн нийлбэр нь $180^\circ-\alpha$ байна. Эдгээр өнцгүүд нь том гурвалжны өнцгийн хагас өнцгүүд тул том гурвалжны суурийн өнцгүүдийн нийлбэр $2\cdot(180^\circ-\alpha)=360^\circ-2\alpha$ байна. Орой дахь өнцөг нь энэ нийлбэрийн $180^\circ$ хүртэлх гүйцээлт тул
$$180^\circ-(360^\circ-2\alpha)=2\alpha-180^\circ$$
байна.
Гурвалжны орой дахь өнцгийн косинус нь $$\cos(2\alpha-180^\circ)=-\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5}$$ байна. Иймд косинусын теоремоор $$a^2=12^2+15^2-2\cdot 12\cdot15\cdot\dfrac45=81$$ тул гурав дахь тал нь $a=9$ байна.
Гурвалжны орой дахь өнцгийн косинус нь $$\cos(2\alpha-180^\circ)=-\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5}$$ байна. Иймд косинусын теоремоор $$a^2=12^2+15^2-2\cdot 12\cdot15\cdot\dfrac45=81$$ тул гурав дахь тал нь $a=9$ байна.