Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Багтсан тойргийн төвөөс гурвалжны тал $\alpha$ өнцөгөөр харагдах бол уг талын эсрэг орших оройн өнцөг нь $2\alpha-180^\circ$ болохыг харуул.

Бодолт: Багтсан тойргийн төвөөс гурвалжны аль нэг тал $\alpha$ өнцгөөр харагдах бол суурийн хоёр өнцгийн нийлбэр нь $180^\circ-\alpha$ байна. Эдгээр өнцгүүд нь том гурвалжны өнцгийн хагас өнцгүүд тул том гурвалжны суурийн өнцгүүдийн нийлбэр $2\cdot(180^\circ-\alpha)=360^\circ-2\alpha$ байна. Орой дахь өнцөг нь энэ нийлбэрийн $180^\circ$ хүртэлх гүйцээлт тул $$180^\circ-(360^\circ-2\alpha)=2\alpha-180^\circ$$ байна.

Гурвалжны орой дахь өнцгийн косинус нь $$\cos(2\alpha-180^\circ)=-\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5}$$ байна. Иймд косинусын теоремоор $$a^2=12^2+15^2-2\cdot 12\cdot15\cdot\dfrac45=81$$ тул гурав дахь тал нь $a=9$ байна.