Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Гурвалжны дотор орших цэг
Гурвалжны дотор орших цэгээс талууд хүртэлх зайг, тэр талд буусан өндөрт харьцуулсан харьцааны нийлбэр хэд байх вэ?
A. $1$
B. $\dfrac13$
C. $\dfrac23$
D. $\dfrac12$
E. гурвалжны хэлбэрээс хамаарна
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 12.50%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: 
$$S=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle CAO}=$$
$$=\dfrac12AB\cdot d_c+\dfrac12BC\cdot d_a+\dfrac12CA\cdot d_b$$
Бодолт: Зааварт өгсөн томьёо ёсоор $\triangle ABC$-ийн дотор орших дурын $O$ цэгийн хувьд
$$S=\dfrac12AB\cdot d_c+\dfrac12BC\cdot d_a+\dfrac12CA\cdot d_b$$
томьёо биелэнэ. Энд $d_a$, $d_b$, $d_c$ нь харгалзан $O$ цэгээс $BC$, $CA$, $AB$ талууд хүртэлх зайнууд. Нөгөө талаас
$$S=\dfrac{1}{2}ABh_c=\dfrac{1}{2}BCh_a=\dfrac{1}{2}CAh_b$$
тул
$$\dfrac12AB=\dfrac{S}{h_c},~\dfrac12BC=\dfrac{S}{h_a},~\dfrac12CA=\dfrac{S}{h_b}$$
байна. Үүнийг эхний илэрхийлэлд орлуулбал
$$S=\dfrac{Sd_c}{h_c}+\dfrac{Sd_a}{h_a}+\dfrac{Sd_b}{h_b}\Rightarrow\dfrac{d_a}{h_a}+\dfrac{d_b}{h_b}+\dfrac{d_c}{h_c}=1$$
байна.