Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Биссектрисийн чанар, талбайн харьцаа
$AB=12$, $BC=18$ гурвалжны $BL_2$ дотоод өнцгийн биссектрисийн $L_2$ суурийг дайрсан $AB$ талтай параллель шулуун $BC$ талыг $D$ цэгт огтолсон бол $S_{L_2CD}:S_{L_2AB}$ аль нь вэ?
A. $3:2$
B. $9:10$
C. $3:4$
D. $4:5$
E. $8:9$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 65.91%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Биссектрисийн чанар ба төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа, ижил өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцааны чанар ашигла.
Биссектриссийн чанар:
Гурвалжны биссектрис нь эсрэг орших талаа налсан талуудтай нь пропорционал хэсгүүдэд хуваана.
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа:
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь төсөөгийн коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.
Ижил өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа:
Ижил өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь тухайн өндөрт харгалзах сууриудын харьцаатай тэнцүү байна.
Биссектриссийн чанар:
Гурвалжны биссектрис нь эсрэг орших талаа налсан талуудтай нь пропорционал хэсгүүдэд хуваана.
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа:
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь төсөөгийн коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.
Ижил өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа:
Ижил өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь тухайн өндөрт харгалзах сууриудын харьцаатай тэнцүү байна.
Бодолт: Биссектрисийн чанар ба пропорцийн чанар ёсоор
$$AL_2:L_2C=AB:BC=12:18=2:3$$
тул
$$\dfrac{L_2C}{AC}=\dfrac{3x}{2x+3x}=\dfrac{3}{5}$$
Иймд $\triangle ABC\sim\triangle L_2DC$ гурвалжнуудын төсөөгийн харьцаа $\dfrac{3}{5}$ тал талбайн харьцаа нь $\dfrac{9}{25}$ болно. Иймд $S_{L_2CD}=\dfrac{9S_{ABC}}{25}$ байна.
Нөгөө талаас $\triangle ABC$, $\triangle ABL_2$ нь $B$ оройгоос $AC$ шулуунд татсан ижил өндөртэй гурвалжнууд тул талбайн харьцаа нь сууриудын харьцаа буюу
$$\dfrac{AL_2}{AC}=\dfrac{2x}{2x+3x}=\dfrac25$$
тул $S_{L_2AB}=\dfrac{2S_{ABC}}{5}$ байна. Иймд
$$S_{L_2CD}:S_{L_2AB}=\dfrac{9S_{ABC}}{25}:\dfrac{2S_{ABC}}{5}=9:10$$
байна.