Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $a$, $b$, $c$ талуудтай гурвалжны оройгоос багтсан тойрогийн шүргэлтийн цэг хүртэлх зайнууд нь $x$, $y$, $z$ бол $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$ байна. $2x$, $2y$, $2z$ нь параллел шүргэгчээр үүсэх гурвалжнуудын периметр болохыг ашигла. Төсөөтэй гурвалжнуудын талуудын харьцаа нь периметрүүдийн харьцаатай тэнцүү.

Бодолт: $CA_1B_1$ гурвалжны периметр нь $2x$ байна. Учир нь $$\begin{align*} P_{CA_1B_1}&=CA_1+A_1B_1+B_1C\\ &=CA_1+A_1T+TB_1+B_1C\\ &=CA_1+A_1Q+RB_1+B_1C\\ &=CQ+CR=2x \end{align*}$$ $$\left\{\begin{array}{l} x+y=12\\ x+z=10\\ y+z=6 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=8\\ y=4\\ z=2 \end{array}\right.$$ $$\triangle A_1B_1C\sim \triangle ABC\Rightarrow \dfrac{A_1B_1}{AB}=\dfrac{P_{A_1B_1C}}{P_{ABC}}$$ тул $$A_1B_1=\dfrac{2x}{2(x+y+z)}\cdot AB=\dfrac{2\cdot 8}{2(8+4+2)}\cdot 6=\dfrac{96}{28}=\dfrac{24}{7}$$