Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тэгш өнцөгт трапецийн $AB$ суурь, $AC$ диагональтай тэнцүү бөгөөд $BC^2=AB\cdot AD$ бол бага суурийг их суурьт харьцуулсан харьцаа аль нь вэ?

$3:5$ B.

$4:5$ C.

$3:8$ D.

$3:7$ E.

$2:3$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 32.26%

Заавар:

$\alpha=\angle BAC=\angle ACD$ ,

$\ell=AB=AC$ -ээр талуудыг илэрхийл.

Бодолт: Косинусын теоремоор

$BC^2=2\ell^2-2\ell^2\cdot\cos\alpha$

$AD=AC\cos\alpha=\ell\sin\alpha$ тул

$BC^2=AB\cdot AD\Leftrightarrow 2\ell^2(1-\cos\alpha)=\ell\cdot\ell\sin\alpha$ болно. Эндээс

$2(1-\cos\alpha)=\sin\alpha\Rightarrow 4\sin^2\frac\alpha2=2\sin\alpha\frac\alpha2\cos\frac\alpha2$ болно.

$0^\circ<\alpha<180^\circ$ тул

$\sin\frac\alpha2\neq0$ байна. Иймд

$2\cos\frac\alpha2=\sin\frac\alpha2\Rightarrow\tg\frac\alpha2=\frac12$ болно. Иймд

$\cos\alpha=\dfrac{1-\tg^2\frac\alpha2}{1+\tg^2\frac\alpha2}=\dfrac{1-\frac14}{1+\frac14}=\dfrac{3}{5}$ байна. Нөгөө талаас сууриудын харьцаа нь

$\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\cos\alpha$ тул

$CD:AB=3:5$ байна.