Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\alpha=\angle BAC=\angle ACD$, $\ell=AB=AC$-ээр талуудыг илэрхийл.

Бодолт: Косинусын теоремоор $$BC^2=2\ell^2-2\ell^2\cdot\cos\alpha$$ $$AD=AC\cos\alpha=\ell\sin\alpha$$ тул $$BC^2=AB\cdot AD\Leftrightarrow 2\ell^2(1-\cos\alpha)=\ell\cdot\ell\sin\alpha$$ болно. Эндээс $2(1-\cos\alpha)=\sin\alpha\Rightarrow 4\sin^2\frac\alpha2=2\sin\alpha\frac\alpha2\cos\frac\alpha2$ болно. $0^\circ<\alpha<180^\circ$ тул $\sin\frac\alpha2\neq0$ байна. Иймд $2\cos\frac\alpha2=\sin\frac\alpha2\Rightarrow\tg\frac\alpha2=\frac12$ болно. Иймд $$\cos\alpha=\dfrac{1-\tg^2\frac\alpha2}{1+\tg^2\frac\alpha2}=\dfrac{1-\frac14}{1+\frac14}=\dfrac{3}{5}$$ байна. Нөгөө талаас сууриудын харьцаа нь $$\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\cos\alpha$$ тул $CD:AB=3:5$ байна.