Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Медианы урт: $$m_a=\dfrac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$$

$\triangle ABM_1\sim CA_1M_1$, $\triangle BA_1M_1\sim ACM_1$ ашиглан $A_1B$, $A_1C$ талуудын уртыг ол.

Бодолт: $$AM=\dfrac12\sqrt{2(4^2+5^2)-6^2}=\dfrac12\sqrt{46}$$ Нэг нумд тулсан өнцгүүд тул $\angle BAA_1=\angle BCA_1$, $\angle ABC=\angle AA_1C$ байна. Иймд $\triangle ABM\sim\triangle CA_1M$ тул $$\dfrac{A_1M}{BM}=\dfrac{CM}{AM}\Rightarrow A_1M=\dfrac{CM\cdot BM}{AM}=\dfrac{3\cdot 3}{\frac12\cdot\sqrt{46}}=\dfrac{9\sqrt{46}}{23}$$ ба $$\dfrac{A_1C}{AB}=\dfrac{CM}{AM}\Rightarrow A_1C=\dfrac{CM\cdot AB}{AM}=\dfrac{3\cdot 4}{\frac12\cdot\sqrt{46}}=\dfrac{12\sqrt{46}}{23}$$ Героны томьёогоор $$S_{ABC}=\sqrt{\dfrac{15}{2}\cdot \dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{4}\sqrt{7}$$ $A_1BC$, $ABC$ гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь $BC$ суурьт татсан өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү бөгөөд энэ харьцаа нь $A_1M:AM$-тай тэнцүү тул $$S_{A_1BC}=\dfrac{\dfrac{9\sqrt{46}}{23}}{\dfrac{\sqrt{46}}{2}}\cdot\dfrac{15}{4}\sqrt{7}=\dfrac{18}{23}\cdot\dfrac{15}{4}\sqrt{7}=\dfrac{135}{46}\sqrt{7}$$