Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Синусын теоремоор $\sin\beta=\dfrac{b}{2R}$, $\sin\gamma=\dfrac{c}{2R}$ байна.

Бодолт: $$b\sin \beta =c\sin \gamma\Leftrightarrow\dfrac{b^2}{2R}=\dfrac{c^2}{2R}\Rightarrow b=c$$ тул адил хажуут гурвалжин болно. Суурийн өнцгүүд нь $\beta=\gamma$ тул $\alpha+2\beta=\pi$ байна. Иймд $$\sin\alpha+2\cos \beta=\sin(\pi-2\beta)+2\cos\beta=$$ $$=\sin2\beta+2\cos\beta$$ болно. $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ функцийн $\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ муж дахь хамгийн их утгыг олъё. $$f^\prime(x)=2\cos 2\beta-2\sin\beta=2-4\sin^2\beta-2\sin\beta=0$$ тул $\sin\beta=-1$, $\sin\beta=\dfrac12$ үед экстремумтай бөгөөд хамгийн их утга нь $\sin\beta=\dfrac12$ үед $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ байна. Энэ үед $\alpha=\pi-2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}$ ба хамгийн их утга нь $$\sin\dfrac{2\pi}{3}+2\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$$ байна.