Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Синусын теорем, илэрхийллийн хамгийн их утга
$ABC$ гурвалжны хувьд $b\sin \beta =c\sin \gamma$ нөхцөл биелдэг бол $b=\fbox{a} c$ болох ба $\sin \alpha +2\cos \beta$ нийлбэр $\alpha = \displaystyle \dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$, $\beta=\displaystyle\dfrac{\pi}{\fbox{d}}$ үед хамгийн их $\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}}{2}$ утгатай байна.
a = 1
bc = 23
d = 6
ef = 33
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 39.68%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Синусын теоремоор $\sin\beta=\dfrac{b}{2R}$, $\sin\gamma=\dfrac{c}{2R}$ байна.
Бодолт: $$b\sin \beta =c\sin \gamma\Leftrightarrow\dfrac{b^2}{2R}=\dfrac{c^2}{2R}\Rightarrow b=c$$
тул адил хажуут гурвалжин болно. Суурийн өнцгүүд нь $\beta=\gamma$ тул $\alpha+2\beta=\pi$ байна. Иймд
$$\sin\alpha+2\cos \beta=\sin(\pi-2\beta)+2\cos\beta=$$
$$=\sin2\beta+2\cos\beta$$
болно. $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ функцийн $\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ муж дахь хамгийн их утгыг олъё.
$$f^\prime(x)=2\cos 2\beta-2\sin\beta=2-4\sin^2\beta-2\sin\beta=0$$
тул $\sin\beta=-1$, $\sin\beta=\dfrac12$ үед экстремумтай бөгөөд хамгийн их утга нь $\sin\beta=\dfrac12$ үед $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ байна. Энэ үед $\alpha=\pi-2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}$ ба хамгийн их утга нь
$$\sin\dfrac{2\pi}{3}+2\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$$
байна.