Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Өгөгдсөн гурвалжин тэгш өнцөгт гурвалжин болохыг шалга.

Бодолт: $AB^2=144$, $BC^2=25$, $AC^2=169$ тул $$AB^2+BC^2=AC^2$$ буюу $\angle B=90^\circ$ байна. Иймд $$2S=AC\cdot BB_1=AB\cdot BC\Rightarrow BB_1=\dfrac{5\cdot 12}{13}=\dfrac{60}{13}$$ $\triangle ABC\sim\triangle AB_1B$ тул төсөөгийн харьцаагаар $$S_{ABB_1}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 S=\dfrac{12^2}{13^2}\cdot 30$$ болох ба $$\dfrac{S_{AC_1B_1}}{S_{ABB_1}}=\dfrac{C_1C_2}{BB_1}=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}$$ тул $S_{AC_1B_1}=\dfrac13\cdot S_{ABB_1}=\dfrac{1440}{13^2}$

$\triangle ABC\sim\triangle BB_1C$ тул төсөөгийн харьцаагаар $$S_{BB_1C}=\left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2 S=\dfrac{5^2}{13^2}\cdot 30$$ ба $B_1A_1$ нь $BB_1C$ гурвалжны медиан тул $$S_{CA_1B_1}=\dfrac12 S_{BB_1C}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5^2\cdot 30}{13^2}=\dfrac{375}{13^2}$$