Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Синусын теорем, Гурвалжны талбай
$ABC$ гурвалжны хувьд $AC=4$, $AB=4\sqrt{2}$, $\measuredangle B=30 ^{\circ}$ бол $\measuredangle C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$, эсвэл $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ байна. $C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $4(\sqrt{\fbox{d}}+\fbox{e} )$, $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ үед $BC=2(\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{g}} )$ болно.
a = 4
bc = 34
de = 31
fg = 62
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 37.88%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Синусын теорем:
$$\dfrac{BC}{\sin\measuredangle A}=\dfrac{AC}{\sin\measuredangle B}=\dfrac{AB}{\sin\measuredangle C}=2R$$
Гурвалжны талбай:
$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BC\sin\measuredangle C$$
Бодолт: Синусын теоремоор
$$\dfrac{AC}{\sin\angle B}=\dfrac{AB}{\sin\measuredangle C}\Leftrightarrow\dfrac{4}{\sin30^\circ}=\dfrac{4\sqrt2}{\sin\measuredangle C}$$
тул
$$\sin\measuredangle C=\dfrac{4\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$
тул $\measuredangle C=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ$, эсвэл $\measuredangle C=\dfrac{3\pi}{4}=135^\circ$ байна.
$\measuredangle C=45^\circ$ үед
$$\measuredangle A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$$
тул гурвалжны талбай
$$S=\dfrac12\cdot 4\cdot 4\sqrt2\cdot\sin105^\circ=4(\sqrt3+1)$$
$\measuredangle C=135^\circ$ үед
$$\measuredangle A=180^\circ-30^\circ-135^\circ=15^\circ$$
тул синусын теоремоор
$$\dfrac{BC}{\sin\measuredangle A}=\dfrac{AC}{\sin\measuredangle B}$$
тул
$$BC=\dfrac{AC\sin\measuredangle A}{\sin\measuredangle B}=\dfrac{4\sin15^\circ}{\sin30^\circ}=2(\sqrt6-\sqrt2)$$
Нэмэлт:
$$\sin105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$
$$\sin15^\circ=\sin(60^\circ-45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ-\cos60^\circ\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$