Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тойрогт багтсан 4 өнцөгт
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=5$, $CD=4$, $AC=\dfrac{50}{7}$, $BD=7$ байв.
- $BC=\fbox{a}$, $AD=\fbox{b}$ ба $AD$ тал дээр $\measuredangle BED=120^{\circ}$ байх $E$ цэг авбал $BE=\sqrt{\fbox{cd}}$ байна.
- Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}\sqrt{6}$ байна.
a = 5
b = 6
cd = 32
efgh = 3524
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 27.13%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $BC$ нумд тулсан өнцгүүд тул $\alpha=\measuredangle BAC=\measuredangle BDC$ байна. $ABC$, $DBC$ гурвалжнуудын хувьд косинусын теорем бичиж $\alpha$ өнцгийн косинусыг олоод түүнийхээ тусламжтайгаар $BC$ талын уртыг ол. $AD$ талын уртыг мөн төстэйгээр бодож олно.
Бодолт: Косинусын теоремоор
$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\alpha=5^2+\left(\dfrac{50}{7}\right)^2-2\cdot 5\cdot\dfrac{50}{7}\cdot\cos\alpha$$
$$BC^2=BD^2+DC^2-2BD\cdot DC\cos\alpha=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cos\alpha$$
байна. Эдгээрийн ялгавар нь
$$25+\dfrac{2500}{49}-49-16+\left(56-\dfrac{500}{7}\right)\cos\alpha=0$$
тул
$$\cos\alpha=-\dfrac{\frac{2500}{49}-40}{56-\frac{500}{7}}=\dfrac57$$
болно. Иймд
$$BC^2=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cdot\dfrac57=49+16-40=25$$
тул $BC=5$.
Яг ижилхэн аргаар бодоод $AD=6$ болохыг олж болно (бие дааж бодоорой!).
$ABC$ адил хажуут гурвалжин тул $\measuredangle BCA=\alpha$ ба нэг нумд тулсан өнцгүүд тул $\measuredangle BDA=\measuredangle BCA=\alpha$ байна.
$BED$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл $$\dfrac{BD}{\sin120^\circ}=\dfrac{BE}{\sin\alpha}$$ байна. $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{7}$ тул $$BE=\dfrac{7}{\frac{\sqrt3}2}\cdot\dfrac{2\sqrt6}{7}=\sqrt{32}$$
$ABD$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл $$2R=\dfrac{AB}{\sin\alpha}\Rightarrow R=\dfrac{5}{2\cdot\frac{2\sqrt6}{7}}=\dfrac{35}{24}\sqrt6$$ байна.
Яг ижилхэн аргаар бодоод $AD=6$ болохыг олж болно (бие дааж бодоорой!).
$ABC$ адил хажуут гурвалжин тул $\measuredangle BCA=\alpha$ ба нэг нумд тулсан өнцгүүд тул $\measuredangle BDA=\measuredangle BCA=\alpha$ байна.
$BED$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл $$\dfrac{BD}{\sin120^\circ}=\dfrac{BE}{\sin\alpha}$$ байна. $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{7}$ тул $$BE=\dfrac{7}{\frac{\sqrt3}2}\cdot\dfrac{2\sqrt6}{7}=\sqrt{32}$$
$ABD$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл $$2R=\dfrac{AB}{\sin\alpha}\Rightarrow R=\dfrac{5}{2\cdot\frac{2\sqrt6}{7}}=\dfrac{35}{24}\sqrt6$$ байна.