Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=5$ , $CD=4$ , $AC=\dfrac{50}{7}$ , $BD=7$ байв.

$BC=\fbox{a}$ , $AD=\fbox{b}$ ба $AD$ тал дээр $\measuredangle BED=120^{\circ}$ байх $E$ цэг авбал $BE=\sqrt{\fbox{cd}}$ байна.
Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}\sqrt{6}$ байна.

a = 5

b = 6

cd = 32

efgh = 3524

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 27.13%

Заавар:

$BC$ нумд тулсан өнцгүүд тул

$\alpha=\measuredangle BAC=\measuredangle BDC$ байна.

$ABC$ ,

$DBC$ гурвалжнуудын хувьд косинусын теорем бичиж

$\alpha$ өнцгийн косинусыг олоод түүнийхээ тусламжтайгаар

$BC$ талын уртыг ол.

$AD$ талын уртыг мөн төстэйгээр бодож олно.

Бодолт: Косинусын теоремоор

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\alpha=5^2+\left(\dfrac{50}{7}\right)^2-2\cdot 5\cdot\dfrac{50}{7}\cdot\cos\alpha$

$BC^2=BD^2+DC^2-2BD\cdot DC\cos\alpha=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cos\alpha$ байна. Эдгээрийн ялгавар нь

$25+\dfrac{2500}{49}-49-16+\left(56-\dfrac{500}{7}\right)\cos\alpha=0$ тул

$\cos\alpha=-\dfrac{\frac{2500}{49}-40}{56-\frac{500}{7}}=\dfrac57$ болно. Иймд

$BC^2=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cdot\dfrac57=49+16-40=25$ тул

$BC=5$ .

Яг ижилхэн аргаар бодоод

$AD=6$ болохыг олж болно (бие дааж бодоорой!).

$ABC$ адил хажуут гурвалжин тул

$\measuredangle BCA=\alpha$ ба нэг нумд тулсан өнцгүүд тул

$\measuredangle BDA=\measuredangle BCA=\alpha$ байна.

$BED$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл

$\dfrac{BD}{\sin120^\circ}=\dfrac{BE}{\sin\alpha}$ байна.

$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{7}$ тул

$BE=\dfrac{7}{\frac{\sqrt3}2}\cdot\dfrac{2\sqrt6}{7}=\sqrt{32}$

$ABD$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл

$2R=\dfrac{AB}{\sin\alpha}\Rightarrow R=\dfrac{5}{2\cdot\frac{2\sqrt6}{7}}=\dfrac{35}{24}\sqrt6$ байна.