Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $AC$, $BC$ талуудыг шүргэх тойргийн төв нь $C$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис дээр байна.

Бодолт: $O$ нь $AC$, $BC$ талуудыг шүргэх тойргийн төв тул $C$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн суурь болно. $OB=4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5}$ байна. $OO_2B$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас $$O_2B=\sqrt{OB^2-OO_2^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{8}{5}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{11}{10}$$ болно. Иймд $$\cos\measuredangle{ABC}=\dfrac{OB_2}{OB}=\dfrac{\frac{11}{10}}{\frac{8}{5}}=\dfrac{11}{16}$$ байна. $OO_1A$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас $$O_1A=\sqrt{OA^2-OO_2^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{12}{5}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{21}{10}$$ тул $$\dfrac{S_{BOO_2}}{S_{AOO_1}}=\dfrac{\frac12\cdot BO_2\cdot r}{\frac12\cdot AO_1\cdot r}=\dfrac{11}{21}$$ байна. $$\sin\measuredangle BAC=\dfrac{OO_1}{AO}=\dfrac{\frac{3}{10}\sqrt{15}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$$ $CO_1=CO_2=x$ гэвэл биссектрисийн чанараар $$\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{BC}{BO}\Leftrightarrow\dfrac{x+\frac{21}{10}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{x+\frac{11}{10}}{\frac{8}{5}}$$ тул $x=\frac{9}{10}$ болох ба $COO_1$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас $$CO=\sqrt{\Big(\dfrac{9}{10}\Big)^2+\Big(\dfrac{3}{10}\sqrt{15}\Big)^2}=\dfrac{3}{5}\sqrt{6}$$ байна.