Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\measuredangle BAD=\alpha$ гэвэл $\cos\alpha=\frac18$ ба $\measuredangle ABC=180^\circ-\alpha$. Дотоод солбисон өнцгүүд тэнцүү тул $$\measuredangle DAL=\measuredangle LAB=\measuredangle ALD$$ байна. Иймд $\triangle ADL$ нь адил хажуут буюу $AD=DL\Rightarrow CL=CM=1$ байна.

Бодолт: $\triangle ABM$-ийн хувьд Косинусын теорем бичвэл: $$\begin{align*} AM^2&=BA^2+BM^2-2\cdot BA\cdot BM\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\\ &=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot\left(-\tfrac18\right)=36 \end{align*}$$ тул $AM=6$ байна.

ӨӨ-ийн шинж ёсоор $\triangle ABM\sim \triangle LCM$ тул $$\dfrac{LM}{AM}=\dfrac{CL}{BA}\Rightarrow LM=\dfrac{CL}{BA}\cdot AM=\dfrac14AM=\dfrac32$$ $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ тул $$\sin\measuredangle LCM=\sqrt{1-\left(\frac18\right)^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$$ ба $$S_{\triangle LCM}=\dfrac{1}{2}\cdot LC\cdot CM\cdot\sin\measuredangle LCM=\dfrac{3\sqrt{7}}{16},$$ $$p_{\triangle LMC}=\frac{LM+MC+LC}{2}=\dfrac{1+1+\frac32}{2}=\frac74$$ тул багтсан тойргийн радуис нь $$r=\dfrac{S_{\triangle LCM}}{p_{\triangle LCM}}=\dfrac{\frac{3\sqrt7}{16}}{\frac74}=\dfrac{3\sqrt7}{28}$$ $\triangle ADL$-ийн талбай нь $$S_{\triangle ADL}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot DL\cdot\sin(180^\circ-\alpha)=\dfrac{27\sqrt{7}}{16}$$

$\triangle ADO\sim\triangle MOB$ тул $$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{MB}{AD}=\dfrac43$$