Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Параллелограммын биссектрис
$ABCD$ нь $AB=4$, $AD=3$ байх параллелограмм байв. Мөн $\cos\measuredangle BAD=\dfrac{1}{8}$ байжээ. $\measuredangle BAD$ өнцгийн биссектрисс нь $CD$ талыг $L$ цэгээр, $BC$ талын үргэлжлэлийг $M$ цэгээр тус тус огтолдог байв. $AM=\fbox{a}$, $CML$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{b}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}$ ба $ADL$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}\sqrt{7}$ болно. $BD$ диагональ ба $AL$ хэрчмийн огтлолцлын цэгийг $O$ гэвэл $\dfrac{BO}{DO}=\dfrac{\fbox{j}}{\fbox{k}}$ байна.
a = 6
bcde = 3728
fghi = 2716
jk = 43
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 26.82%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: 
$\measuredangle BAD=\alpha$ гэвэл $\cos\alpha=\frac18$ ба $\measuredangle ABC=180^\circ-\alpha$. Дотоод солбисон өнцгүүд тэнцүү тул $$\measuredangle DAL=\measuredangle LAB=\measuredangle ALD$$
байна. Иймд $\triangle ADL$ нь адил хажуут буюу $AD=DL\Rightarrow CL=CM=1$ байна.
Бодолт: $\triangle ABM$-ийн хувьд Косинусын теорем бичвэл:
\begin{align*}
AM^2&=BA^2+BM^2-2\cdot BA\cdot BM\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\\
&=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot\left(-\tfrac18\right)=36
\end{align*}
тул $AM=6$ байна.
ӨӨ-ийн шинж ёсоор $\triangle ABM\sim \triangle LCM$ тул $$\dfrac{LM}{AM}=\dfrac{CL}{BA}\Rightarrow LM=\dfrac{CL}{BA}\cdot AM=\dfrac14AM=\dfrac32$$ $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ тул $$\sin\measuredangle LCM=\sqrt{1-\left(\frac18\right)^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$$ ба $$S_{\triangle LCM}=\dfrac{1}{2}\cdot LC\cdot CM\cdot\sin\measuredangle LCM=\dfrac{3\sqrt{7}}{16},$$ $$p_{\triangle LMC}=\frac{LM+MC+LC}{2}=\dfrac{1+1+\frac32}{2}=\frac74$$ тул багтсан тойргийн радуис нь $$r=\dfrac{S_{\triangle LCM}}{p_{\triangle LCM}}=\dfrac{\frac{3\sqrt7}{16}}{\frac74}=\dfrac{3\sqrt7}{28}$$ $\triangle ADL$-ийн талбай нь $$S_{\triangle ADL}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot DL\cdot\sin(180^\circ-\alpha)=\dfrac{27\sqrt{7}}{16}$$
$\triangle ADO\sim\triangle MOB$ тул $$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{MB}{AD}=\dfrac43$$
ӨӨ-ийн шинж ёсоор $\triangle ABM\sim \triangle LCM$ тул $$\dfrac{LM}{AM}=\dfrac{CL}{BA}\Rightarrow LM=\dfrac{CL}{BA}\cdot AM=\dfrac14AM=\dfrac32$$ $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ тул $$\sin\measuredangle LCM=\sqrt{1-\left(\frac18\right)^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$$ ба $$S_{\triangle LCM}=\dfrac{1}{2}\cdot LC\cdot CM\cdot\sin\measuredangle LCM=\dfrac{3\sqrt{7}}{16},$$ $$p_{\triangle LMC}=\frac{LM+MC+LC}{2}=\dfrac{1+1+\frac32}{2}=\frac74$$ тул багтсан тойргийн радуис нь $$r=\dfrac{S_{\triangle LCM}}{p_{\triangle LCM}}=\dfrac{\frac{3\sqrt7}{16}}{\frac74}=\dfrac{3\sqrt7}{28}$$ $\triangle ADL$-ийн талбай нь $$S_{\triangle ADL}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot DL\cdot\sin(180^\circ-\alpha)=\dfrac{27\sqrt{7}}{16}$$
$\triangle ADO\sim\triangle MOB$ тул $$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{MB}{AD}=\dfrac43$$