Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Талууд дээр оройтой гурвалжны талбай
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд дээр харгалзан $F$, $E$, $D$ цэгүүдийг $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{2}{5}$ байхаар авчээ. $FED$, $ABC$ гурвалжнуудын талбайн харьцаа $\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
abcd = 1949
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 36.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$S_{\triangle FED}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AFD}-S_{\triangle BFE}-S_{\triangle CED}$$
болохыг ашигла.
Бодолт: $AB=7x$, $AC=7y$, $BC=7z$ гэвэл
$$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{2}{5}$$
тул $AF=2x$, $FB=5x$; $DC=2y$, $AD=5y$; $BE=2z$, $EC=5z$ байна. Нөгөө талаас
$$S=\dfrac12\cdot 49xy\sin\alpha=\dfrac12\cdot 49xz\sin\beta=\dfrac12\cdot 49yz\sin\gamma$$
тул
\begin{align*}
S_{\triangle AFD}&=\dfrac12\cdot 2x\cdot 5y\sin\alpha=5xy\cdot\dfrac{2S}{49xy}=\dfrac{10}{49}S\\
S_{\triangle BFE}&=\dfrac12\cdot 5x\cdot 2z\sin\beta=5xz\cdot\dfrac{2S}{49xz}=\dfrac{10}{49}S\\
S_{\triangle CED}&=\dfrac12\cdot 5z\cdot 2y\sin\gamma=5yz\cdot\dfrac{2S}{49yz}=\dfrac{10}{49}S
\end{align*}
Иймд
$$S_{\triangle FED}=S-3\cdot\dfrac{10}{49}S=\dfrac{19}{49}S\Rightarrow\dfrac{S_{\triangle FED}}{S}=\dfrac{19}{49}$$
байна.