Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\angle BCP=\theta-60^\circ$ байна. $\angle BPC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ$ тул $$\angle CBP=180^\circ-120^\circ-(\theta-60^\circ)=120^\circ-\theta$$ байна. Түүнчлэн нэг нумд тулсан өнцгүүд тул $$\angle CAP=\angle CBP=120^\circ-\theta$$ байна. Синусын теорем ашиглан $AP,\ BP$ утгуудыг ол. $$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$

Бодолт: Синусын теоремоор $$2R=\dfrac{5}{\sin 60^\circ}=\dfrac{AP}{\sin\theta}=\dfrac{BP}{\sin(\theta-60^\circ)}$$ буюу $$AP=\dfrac{10}{\sqrt3}\sin\theta,\ BP=\dfrac{10}{\sqrt3}\sin(\theta-60^\circ)$$ байна. Түүнчлэн $$\sin\theta+\sin(\theta-60^\circ)=2\sin(\theta-30^\circ)\cos 30^\circ$$ тул $$AP+BP=\dfrac{10}{\sqrt3}\cdot 2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=10\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$$ байна. $$\begin{align*} S_{\triangle PAC}&=\dfrac12 AC\cdot AP\cdot\sin(120^\circ-\theta)=\\ &=\dfrac12\cdot 5\cdot \dfrac{10}{\sqrt3} \sin\theta\sin\left(\frac{2}{3}\pi-\theta\right)\\ &=\dfrac{25}{\sqrt3}\sin\left(\frac{2}{3}\pi-\theta\right)\sin\theta \end{align*}$$