Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хоёр талст өнцөг
Бүх ирмэг нь $a$ урттай $ABCD$ тетраэдрийн $D$ орой, $BC$ ирмэгийн дунджийг дайрч $AC$ ирмэгтэй параллел байрлах хавтгай $(ABC)$ талстай үүсгэх өнцгийн синусыг ол.
A. $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$
B. $\dfrac{7\sqrt{11}}{22}$
C. $\dfrac{4\sqrt{66}}{33}$
D. $\dfrac{3\sqrt{55}}{44}$
E. $\dfrac{4\sqrt{22}}{33}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 45.54%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: 
$BC$ ирмэгийн дунджийг дайрч $AC$ ирмэгтэй параллель байрлах хавтгай $(ABC)$ талстай $MN$ шулуунаар огтолцсон гэе. Энд $M$ нь $BC$ талын дундаж цэг бол $MN$ нь гурвалжны дундаж шугам болно.
Бодолт: $ABC$ гурвалжны төв нь $H$, $MN$ хэрчмийн дундаж цэг $F$ гэвэл бидний олох өнцөг нь $\measuredangle DFH$ байна.
$$DM=a\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3a}{2}$$
$$MF=\dfrac12MN=\dfrac14a$$
Тул $DFM$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас
$$DF=\sqrt{DM^2-MF^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}-\dfrac{a^2}{16}}=\dfrac{\sqrt{11}a}{4}$$
$\angle HNF=\angle HCA=30^\circ$ тул
$$HF=NF\cdot\tg30^\circ=\dfrac{1}{4}a\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3a}{12}$$
$DHF$ тэгш өнцөгт гурвалжнаас
$$\cos\measuredangle DFH=\dfrac{HF}{DF}=\dfrac{\dfrac{\sqrt3a}{12}}{\dfrac{\sqrt{11}a}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{33}}$$
тул
$$\sin\measuredangle DFH=\sqrt{1-\cos^2\measuredangle DFH}=\sqrt{\dfrac{32}{33}}=\dfrac{4\sqrt{66}}{33}$$