Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №8051
Цилиндр, конус хоёр ерөнхий суурьтай ба суурийн хавтгайн нэг талд байрлана. Хэрэв тэдгээр нь ижил эзлэхүүнтэй бол цилиндр дотор конусын эзлэхүүний хэдий хэсэг харьяалагдах вэ?
A. $\dfrac13$
B. $\dfrac12$
C. $\dfrac{17}{20}$
D. $\dfrac{19}{27}$
E. $\dfrac{8}{27}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 17.12%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Конусын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13Sh$$
Бодолт: Эзлэхүүнүүд нь тэнцүү тул конусын өндөр цилиндрийн өндрөөс 3 дахин урт байна. Иймд конусын өндрийг 3 хэсэг гэвэл 2 хэсэг нь цилиндрийн гадна талд байрлана. Иймд конусын призмийн сууриар огтлогдох хэсгийн радиус нь $\dfrac{2}{3}r$ байна.
Конусын өндрийг $3h$ гэвэл эзлэхүүн нь $$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot(3h)=\pi r^2h$$ Харин түүний цилиндрээс гаднах хэсгийн эзлэхүүн $$V_1=\dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac23r\right)^2\cdot(2h)=\dfrac{8}{27}\pi r^2h$$ тул цилиндр доторх хэсгийн эзлэхүүн нь $$V_2=V-V_1=\pi r^2h-\dfrac{8}{27}\pi r^2h=\dfrac{19}{27}\pi r^2h=\dfrac{19}{27}V$$ байна.
Конусын өндрийг $3h$ гэвэл эзлэхүүн нь $$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot(3h)=\pi r^2h$$ Харин түүний цилиндрээс гаднах хэсгийн эзлэхүүн $$V_1=\dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac23r\right)^2\cdot(2h)=\dfrac{8}{27}\pi r^2h$$ тул цилиндр доторх хэсгийн эзлэхүүн нь $$V_2=V-V_1=\pi r^2h-\dfrac{8}{27}\pi r^2h=\dfrac{19}{27}\pi r^2h=\dfrac{19}{27}V$$ байна.