Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Зөв $n$ өнцөгт пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүнүүдийн харьцаа $1:4$ бол $n$ -г ол.

$n=3$ B.

$n=4$ C.

$n=5$ D.

$n=6$ E.

$n=8$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 32.50%

Заавар: Тэнцүү өндөртэй пирамидуудын эзлэхүүний харьцаа нь сууриудын талбайн харьцаатай тэнцүү байна.

$a$ талбай зөв

$n$ өнцөгтийн багтсан тойргийн радиус

$r=\dfrac{a}{2}\ctg\dfrac{180^\circ}{n},$ багтаасан тойргийн радиус

$R=\dfrac{a}{2}\csc\dfrac{180^\circ}{n}$ байна. Энд

$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ .

Бодолт: Багтсан конусын эзлэхүүн

$V_1=\dfrac{1}{3}\pi r^2H=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{a^2}{4}\tg^2\dfrac{180^\circ}{n}H,$ багтаасан конусын эзлэхүүн

$V_2=\dfrac{1}{3}\pi R^2H=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{a^2}{4}\csc^2\dfrac{180^\circ}{n}H$ тул

$V_1:V_2=\ctg^2\dfrac{180^\circ}{n}:\csc^2\dfrac{180^\circ}{n}=1:4$ байна.

$\alpha=\dfrac{180^\circ}{n}$ гэвэл

$\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}:\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 4\cos^2\alpha=1$ болно. Эндээс

$\cos\alpha>0$ тул

$\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ буюу

$\alpha=60^\circ$ болов. Иймд

$\dfrac{180^\circ}{n}=60^\circ\Rightarrow n=3$ болов.