Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Тэнцүү өндөртэй пирамидуудын эзлэхүүний харьцаа нь сууриудын талбайн харьцаатай тэнцүү байна. $a$ талбай зөв $n$ өнцөгтийн багтсан тойргийн радиус $$r=\dfrac{a}{2}\ctg\dfrac{180^\circ}{n},$$ багтаасан тойргийн радиус $$R=\dfrac{a}{2}\csc\dfrac{180^\circ}{n}$$ байна. Энд $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$.

Бодолт: Багтсан конусын эзлэхүүн $$V_1=\dfrac{1}{3}\pi r^2H=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{a^2}{4}\tg^2\dfrac{180^\circ}{n}H,$$ багтаасан конусын эзлэхүүн $$V_2=\dfrac{1}{3}\pi R^2H=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{a^2}{4}\csc^2\dfrac{180^\circ}{n}H$$ тул $$V_1:V_2=\ctg^2\dfrac{180^\circ}{n}:\csc^2\dfrac{180^\circ}{n}=1:4$$ байна. $\alpha=\dfrac{180^\circ}{n}$ гэвэл $$\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}:\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 4\cos^2\alpha=1$$ болно. Эндээс $\cos\alpha>0$ тул $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ буюу $\alpha=60^\circ$ болов. Иймд $$\dfrac{180^\circ}{n}=60^\circ\Rightarrow n=3$$ болов.