Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн: $$V=\dfrac13(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)h$$

Бодолт: Параллел хавтгайнуудыг огтлолж буй тул $BC\parallel MN$ байна. Нөгөө талаас $A_1M=MC_1$ тул $MN$ нь $A_1B_1C_1$ гурвалжны дундаж шугам болно. Иймд $A_1MN$ нь $\dfrac{a}{2}$ талтай зөв гурвалжин болно. Бидний олох зүйл нь дээд суурь нь $\dfrac{a}{2}$ талтай зөв гурвалжин, доод суурь нь $a$ талтай зөв гурвалжин байдаг $a$ өндөртэй огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн юм. Дээд суурийн талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{4}=\dfrac{\sqrt3 a^2}{16}$, доод суурийн талбай нь $S_2=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$ тул огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн нь $$\begin{align*} V&=\dfrac13\left(\dfrac{\sqrt3 a^2}{16}+\sqrt{\dfrac{\sqrt3 a^2}{16}\cdot\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}}+\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}\right) a\\ &=\dfrac13\left(\dfrac{\sqrt3 a^2}{16}+\dfrac{\sqrt3 a^2}{8}+\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}\right) a=\dfrac{7\sqrt3a^3}{48} \end{align*}$$