Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хамгийн их хажуу гадаргуутай багтсан конус
$R=5$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндөр нь $H=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ байна.
abc = 203
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 25.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Конусын хажуу ирмэгийн урт $\ell$, суурийн радиус нь $r$ бол хажуу гадагуугийн талбай нь $\pi r\ell$ байдаг.
Бодолт: Конусын өндрийг $h$, суурийн радиусыг $r$ гэвэл $$r^2=5^2-(h-5)^2=10h-h^2$$ ба $$\ell^2=h^2+r^2=h^2+10h-h^2=10h$$ тул хажуу гадаргуугийн талбай нь $$S(h)=\pi\sqrt{10h-h^2}\sqrt{10h}$$
болно. $S(h)$ ба $S^2(h)$ нь нэг ижил цэг дээр хамгийн их утгаа авна. Иймд $$f(h)=(10-h)h^2=10h^2-h^3$$
нь хамгийн их утгаа авах $h>0$ утгыг олоход хангалттай. $f^\prime(h)=20h-3h^2$ тул $h=0$, $h=\dfrac{20}{3}$ цэгүүд дээр экстремумтай бөгөөд $h=\dfrac{20}{3}$ цэг дээр максимум байна.
