Монгол Бодлогын Сан

Заавар: зурагт үзүүлсэн $\theta$ өнцгөөр эзлэхүүнийг илэрхийл. Конусын эзлэхүүн: $$V=\dfrac13 Sh=\dfrac{\pi}{3}R^2h$$ байна. Энд $S$ конусын суурийн талбай, $R$ нь суурийн радиус, $h$ нь конусын өндөр юм.

Бодолт: $O$ нь бөмбөрцгийн төв, $M$ нь конусын суурийн тойрог дээрх цэг гэе. $OM$ хэрчмийн цилиндрийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг $\theta$ гэвэл суурийн радиус нь $2\sin\theta$, өндөр нь $2+2\cos\theta$ байна. Конусын эзлэхүүн нь $$V(\theta)=\dfrac{\pi}3(2\sin\theta)^2 (2+2\cos\theta)$$ ба $c=\cos\theta$, $|c|\le 1$ гэвэл $\sin^2\theta=1-c^2$ тул $$V(c)=\dfrac{\pi}{3}\cdot 2^3(1-c^2)(1+c)$$ байна. $c$-ийн ямар утганд конусын эзлэхүүн хамгийн их байхыг олъё. $$V^{\prime}(c)=0\Rightarrow 1-2c-3c^2=0\Rightarrow c_1=-1, c_2=\dfrac{1}{3}$$ болно. Эндээс $c=\dfrac13$ үед $$V_{\max}=\dfrac{\pi}{3}\cdot 2^3\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{256}{81}\cdot\pi$$ хамгийн их утгаа авна.