Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Математикийн Сорилго, №11.4.Б нөхөх
$R=2$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын эзлэхүүн нь $V=\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{de}}\cdot \pi$ байна.
abcde = 25681
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 33.33%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: 
зурагт үзүүлсэн $\theta$ өнцгөөр эзлэхүүнийг илэрхийл. Конусын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13 Sh=\dfrac{\pi}{3}R^2h$$
байна. Энд $S$ конусын суурийн талбай, $R$ нь суурийн радиус, $h$ нь конусын өндөр юм.
Бодолт: $O$ нь бөмбөрцгийн төв, $M$ нь конусын суурийн тойрог дээрх цэг гэе. $OM$ хэрчмийн цилиндрийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг $\theta$ гэвэл суурийн радиус нь $2\sin\theta$, өндөр нь $2+2\cos\theta$ байна. Конусын эзлэхүүн нь
$$V(\theta)=\dfrac{\pi}3(2\sin\theta)^2 (2+2\cos\theta)$$
ба $c=\cos\theta$, $|c|\le 1$ гэвэл $\sin^2\theta=1-c^2$ тул
$$V(c)=\dfrac{\pi}{3}\cdot 2^3(1-c^2)(1+c)$$
байна. $c$-ийн ямар утганд конусын эзлэхүүн хамгийн их байхыг олъё.
$$V^{\prime}(c)=0\Rightarrow 1-2c-3c^2=0\Rightarrow c_1=-1, c_2=\dfrac{1}{3}$$ болно. Эндээс $c=\dfrac13$ үед
$$V_{\max}=\dfrac{\pi}{3}\cdot 2^3\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{256}{81}\cdot\pi$$
хамгийн их утгаа авна.