Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Кошийн тэнцэтгэл биш: $0\le x,y,z$ бодит тоонуудын хувьд $$\sqrt[3]{xyz}\le \dfrac{x+y+z}{3}$$ тэнцэтгэл биш биелэх бөгөөд зөвхөн $x=y=z$ үед л тэнцэлдээ хүрдэг.

Бодолт: Параллелепипедийн талууд нь $a$, $b$, $c$ бол $$abc=\dfrac{8\sqrt{3}}{9},\ \Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{2}\Big)^2=1^2$$ байна.

Кошийн тэнцэтгэл биш ёсоор $$\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$$ байна. Нөгөө талаас $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\sqrt[3]{\Big(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\Big)^2}=\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{4}{3}$ тул тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрч байна. Иймд $a=b=c=\sqrt[3]{\dfrac{8\sqrt{3}}{9}}=\dfrac{2}{\sqrt3}$ ба параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай $$2(ab+bc+ca)=2\cdot 3\cdot\Big(\dfrac{2}{\sqrt3}\Big)^2=8$$ байна.