Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Ирмэгийн урт нь 1-тэй тэнцүү $ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв.

$BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $(A_1DC_1)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $r=\dfrac{\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{b}}-\fbox{c}\cdot \sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ байна.
$BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $DA_1$ шулууныг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $R=\fbox{f}\cdot \sqrt{\fbox{g}}-\sqrt{\fbox{h}}$ байна.

abcde = 62433

fgh = 225

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 47.12%

Заавар:

$B$ цэгт төвтэй координатын систем ашигла.

Бодолт:

$B=(0,0,0)$ ,

$A=(1,0,0)$ ,

$C=(0,1,0)$ ,

$D=(1,1,0)$ ,

$B_1=(0,0,1)$ ,

$A_1=(1,0,1)$ ,

$C_1=(0,1,1)$ ,

$D_1=(1,1,1)$ гэвэл бөмбөлгийн төв

$(t,t,t)$ координаттай байна.

$(t,t,t)$ цэгээс

$OX$ ,

$OY$ ,

$OZ$ тэнхлэгүүд хүртэлх зай Пифагорын теоремоор

$r=\sqrt{2}t$ тул тэгшитгэл нь

$(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=2t^2$ хэлбэртэй байна.

$\triangle A_1DC_1$ зөв гурвалжны төв $\frac{A_1+D+C_1}{3}=\left(\frac23,\frac23,\frac23\right)$ цэг бөмбөлөг дээр орших ба $0< t<1$ тул $3\left(\frac23-t\right)^2=2t^2\Rightarrow t=2-\dfrac{2\sqrt6}{3}$ Иймд $r=\sqrt2 t=\dfrac{6\sqrt2-4\sqrt3}{3}$
Өмнөхтэй ижлээр $R=\sqrt2t$ байна. Мөн $DA_1$ хэрчмийн дундаж цэг нь $\frac{D+A_1}{2}=\left(1,\frac12,\frac12\right)$ цэг бөмбөлөг дээр орших ба $0< t<1$ тул $(1-t)^2+2\left(\frac12-t\right)^2=2t^2\Rightarrow t=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ Иймд $R=\sqrt2t=2\sqrt2-\sqrt5$