Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$C\colon x^2+y^2=25$ тойрог ба $A(7,1)$ цэг өгөгдөв.

$A$ цэгийг дайрсан, өнцгийн коэффициент нь 1 байх шулуун $C$ тойрогтой $P$, $Q$ цэгт огтлолцдох бол $PQ$ хэрчмийн уртыг ол.
$A$ цэгээс $C$ тойрогт татсан шүргэгчийн шүргэлтийн цэгийг $T$ гэвэл $AT$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$PQ$ хөвчийн урт, $P$, $Q$-ийн координат $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$-ийг ол. $$|PQ|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$
Тойргийн хөвч, радиус, шүргэгчийн уртын хамаарал. $$PM^2+CM^2=r^2$$ $$AT^2+r^2=AC^2$$

Бодолт:

I арга. $A$ цэгийг дайрсан 1 өнцгийн коэффициенттэй учраас $y=x-6$. $PQ$ хөвчийн дундаж цэгийг $M$ гэвэл $PQ=2PM$, $OM\perp PQ$, $PM^2+OM^2=OP^2$, цэгээс шулуун хүртэлх зай $OM=\dfrac{|-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}$, радиус $OP=5$. Иймд $$PQ=2\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{7}$$

II арга. $P(x_1,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$ гэвэл $x_1$, $x_2$ нь $x^2+(x-6)^2=25$ тэгшитгэлийн шийд болно. $2x^2-12x+11=0$-ийн хоёр шийд нь $x_1,x_2=\dfrac{6\pm \sqrt{14}}{2}$. $$PQ=\sqrt{2}|x_2-x_1|=\sqrt{2}\sqrt{14}=2\sqrt{7}$$ Энд $m$ өнцгийн коэффициенттэй шулууны $P$, $Q$ цэгүүдийн хоорондох зай нь $\sqrt{1+m^2} |x_2-x_1|$, $x_1$ нь $P$ цэгийн абсцисс, $x_2$ нь $Q$ цэгийн абсцисс гэдгийг ашиглав.
$OT\perp AT\Rightarrow OT^2+AT^2=AO^2$, $OT=5$, $AO^2=7^2+1^2=50$. Иймд $$AT=\sqrt{50-5^2}=5.$$