Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$C\colon x^2+y^2=25$ тойрог ба $A(7,1)$ цэг өгөгдөв.

$A$ цэгийг дайрсан, өнцгийн коэффициент нь 1 байх шулуун $C$ тойрогтой $P$ , $Q$ цэгт огтлолцдох бол $PQ$ хэрчмийн уртыг ол.
$A$ цэгээс $C$ тойрогт татсан шүргэгчийн шүргэлтийн цэгийг $T$ гэвэл $AT$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$PQ$ хөвчийн урт, $P$ , $Q$ -ийн координат $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ -ийг ол. $|PQ|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
Тойргийн хөвч, радиус, шүргэгчийн уртын хамаарал. $PM^2+CM^2=r^2$ $AT^2+r^2=AC^2$

Бодолт:

I арга. $A$ цэгийг дайрсан 1 өнцгийн коэффициенттэй учраас $y=x-6$ . $PQ$ хөвчийн дундаж цэгийг $M$ гэвэл $PQ=2PM$ , $OM\perp PQ$ , $PM^2+OM^2=OP^2$ , цэгээс шулуун хүртэлх зай $OM=\dfrac{|-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}$ , радиус $OP=5$ . Иймд $PQ=2\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{7}$

II арга. $P(x_1,y_1)$ , $Q(x_2,y_2)$ гэвэл $x_1$ , $x_2$ нь $x^2+(x-6)^2=25$ тэгшитгэлийн шийд болно. $2x^2-12x+11=0$ -ийн хоёр шийд нь $x_1,x_2=\dfrac{6\pm \sqrt{14}}{2}$ . $PQ=\sqrt{2}|x_2-x_1|=\sqrt{2}\sqrt{14}=2\sqrt{7}$ Энд $m$ өнцгийн коэффициенттэй шулууны $P$ , $Q$ цэгүүдийн хоорондох зай нь $\sqrt{1+m^2} |x_2-x_1|$ , $x_1$ нь $P$ цэгийн абсцисс, $x_2$ нь $Q$ цэгийн абсцисс гэдгийг ашиглав.
$OT\perp AT\Rightarrow OT^2+AT^2=AO^2$ , $OT=5$ , $AO^2=7^2+1^2=50$ . Иймд $AT=\sqrt{50-5^2}=5.$