Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Координатын хавтгайд $A(1,2)$, $B(5,4)$, $C(3,6)$, $D(x,y)$ цэгүүд өгөгдөв.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Дөрвөн цэг параллелограммын орой болох зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь аль нэг хоёрынх нь дундаж, нөгөө хоёр цэгийнхээ дундажтай давхцах.
$AD^2+BD^2+CD^2$-г $x,y$-ээс хамаарсан бүтэн квадратуудын нийлбэрт тавь.

Бодолт:

$AC$, $BD$ хэрчмүүдийн дундаж давхцах бол $$M\left(\dfrac{1+3}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right)=N\left(\dfrac{5+x}{2}, \dfrac{4+y}{2}\right)$$ Иймд $\dfrac{4}{2}=\dfrac{5+x}{2}$, $\dfrac{8}{2}=\dfrac{4+y}{2}$ буюу $x=-1$, $y=4$. $AD$, $BC$-ийн дунджууд давхцах бол $\dfrac{1+x}{2}=\dfrac{8}{2}$, $\dfrac{2+y}{2}=\dfrac{10}{2}$ буюу $x=7$, $y=8.$

$AB$, $CD$-ийн дунджууд давхцах бол $\dfrac62=\dfrac{3+x}{2}$, $\dfrac{6}{2}=\dfrac{6+y}{2}$ буюу $x=3$, $y=0$ болно. $$(-1,4), (7,8), (3,0)$$
Бүтэн квадрат ялгая. $$\begin{aligned} AD^2+&BD^2+CD^2=\\ &=(x-1)^2+(y-2)^2+(x-5)^2+(y-4)^2+(x-3)^2+(y-6)^2\\ &=3x^2-18x+3y^2-24y+91=3(x-3)^2+3(y-4)^2+16 \end{aligned}$$ Иймд $x=3$, $y=4$ үед хамгийн бага утга $16$-г авна. $$D(3,4)$$