Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Дөрвөн өнцөгтийн талбайн максимум утга
(x−acosθ)2+(y−asinθ)2=1 (a нь 0<a<1 тогтмол тоо) тойрог OX тэнхлэгийг A ба C, OY-тэнхлэгийг B,D цэгүүдээр огтлох ба A цэгийн абсцисс, B-ийн ординат эерэг.
- ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг a ба θ-өөр илэрхийл.
- θ нь 0∘<θ<90∘ мужаар хөдөлж байх үед SABCD-ийн хамгийн их утгыг ол. max үеийн \theta-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: (x-a\cos\theta)^2+(y-a\sin \theta)^2=1 тэгшитгэлд {y=0}-ийг орлуулбал (x-a\cos\theta)^2=1-a^2\sin^2 \theta
тул x=a\cos\theta\pm \sqrt{1-a^2\sin^2\theta}.
A цэгийн абсцисс эерэг учраас A(a\cos\theta+\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), C(a\cos\theta-\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), дээрхтэй ижлээр {x=0}-ийг орлуулж бодоод B, D цэгүүдийн координатыг олбол: B(0,a\sin\theta+\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}), D(0,a\sin\theta-\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}).
(1) AC\bot BD тул S_{ABCD}=\dfrac 12AC\cdot BD=2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}\cdot \sqrt{1-a^2\cos^2\theta}= =2\sqrt{1-a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+a^4\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta}=\sqrt{4-4a^2+a^4\cdot \sin^22\theta};
(2) 0^{\circ}< \theta< 90^{\circ} \Rightarrow 0^{\circ}< 2\theta< 180^{\circ}, 0< \sin 2\theta\leq 1 \Rightarrow \sin 2\theta=1 үед S хамгийн их утгаа авах ба хамгийн их утга нь \sqrt{4-4a^2+a^4}=\sqrt{(2-a^2)^2}=|2-a^2|, 0< a< 1 учраас |2-a^2|=2-a^2. S_{\max}=2-a^2, \theta=45^{\circ}.
A цэгийн абсцисс эерэг учраас A(a\cos\theta+\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), C(a\cos\theta-\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), дээрхтэй ижлээр {x=0}-ийг орлуулж бодоод B, D цэгүүдийн координатыг олбол: B(0,a\sin\theta+\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}), D(0,a\sin\theta-\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}).
(1) AC\bot BD тул S_{ABCD}=\dfrac 12AC\cdot BD=2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}\cdot \sqrt{1-a^2\cos^2\theta}= =2\sqrt{1-a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+a^4\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta}=\sqrt{4-4a^2+a^4\cdot \sin^22\theta};
(2) 0^{\circ}< \theta< 90^{\circ} \Rightarrow 0^{\circ}< 2\theta< 180^{\circ}, 0< \sin 2\theta\leq 1 \Rightarrow \sin 2\theta=1 үед S хамгийн их утгаа авах ба хамгийн их утга нь \sqrt{4-4a^2+a^4}=\sqrt{(2-a^2)^2}=|2-a^2|, 0< a< 1 учраас |2-a^2|=2-a^2. S_{\max}=2-a^2, \theta=45^{\circ}.