Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Дөрвөн өнцөгтийн талбайн максимум утга
$(x-a\cos\theta)^2+(y-a\sin \theta)^2=1$ ($a$ нь $0< a< 1$ тогтмол тоо) тойрог $OX$ тэнхлэгийг $A$ ба $C$, $OY$-тэнхлэгийг $B, D$ цэгүүдээр огтлох ба $A$ цэгийн абсцисс, $B$-ийн ординат эерэг.
- $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг $a$ ба $\theta$-өөр илэрхийл.
- $\theta$ нь $0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ мужаар хөдөлж байх үед $S_{ABCD}$-ийн хамгийн их утгыг ол. $\max (S_{ABCD})$ үеийн $\theta$-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $(x-a\cos\theta)^2+(y-a\sin \theta)^2=1$ тэгшитгэлд ${y=0}$-ийг орлуулбал $$(x-a\cos\theta)^2=1-a^2\sin^2 \theta$$
тул $x=a\cos\theta\pm \sqrt{1-a^2\sin^2\theta}$.
$A$ цэгийн абсцисс эерэг учраас $$A(a\cos\theta+\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), C(a\cos\theta-\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0),$$ дээрхтэй ижлээр ${x=0}$-ийг орлуулж бодоод $B$, $D$ цэгүүдийн координатыг олбол: $$B(0,a\sin\theta+\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}), D(0,a\sin\theta-\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}).$$
(1) $AC\bot BD$ тул $S_{ABCD}=\dfrac 12AC\cdot BD=2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}\cdot \sqrt{1-a^2\cos^2\theta}=$ $=2\sqrt{1-a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+a^4\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta}=\sqrt{4-4a^2+a^4\cdot \sin^22\theta};$
(2) $0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ $0^{\circ}< 2\theta< 180^{\circ}$, $0< \sin 2\theta\leq 1$ $\Rightarrow$ $\sin 2\theta=1$ үед $S$ хамгийн их утгаа авах ба хамгийн их утга нь $\sqrt{4-4a^2+a^4}=\sqrt{(2-a^2)^2}=|2-a^2|$, $0< a< 1$ учраас $|2-a^2|=2-a^2.$ $S_{\max}=2-a^2$, $\theta=45^{\circ}.$
$A$ цэгийн абсцисс эерэг учраас $$A(a\cos\theta+\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0), C(a\cos\theta-\sqrt{1-a^2\sin^2\theta},0),$$ дээрхтэй ижлээр ${x=0}$-ийг орлуулж бодоод $B$, $D$ цэгүүдийн координатыг олбол: $$B(0,a\sin\theta+\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}), D(0,a\sin\theta-\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}).$$
(1) $AC\bot BD$ тул $S_{ABCD}=\dfrac 12AC\cdot BD=2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}\cdot \sqrt{1-a^2\cos^2\theta}=$ $=2\sqrt{1-a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+a^4\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta}=\sqrt{4-4a^2+a^4\cdot \sin^22\theta};$
(2) $0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ $0^{\circ}< 2\theta< 180^{\circ}$, $0< \sin 2\theta\leq 1$ $\Rightarrow$ $\sin 2\theta=1$ үед $S$ хамгийн их утгаа авах ба хамгийн их утга нь $\sqrt{4-4a^2+a^4}=\sqrt{(2-a^2)^2}=|2-a^2|$, $0< a< 1$ учраас $|2-a^2|=2-a^2.$ $S_{\max}=2-a^2$, $\theta=45^{\circ}.$