Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1, \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\quad(A)$$ учраас $\cos \theta$, $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$-ийн аль нэгийг олж чадвал нөгөө хоёр нь олдох нь харагдаж байна.



Өгөгдсөн нөхцлийг хувиргаж, үржигдэхүүн болго. Зүүн талыг $2\sin 2\theta\sin 3\theta$ гээд үржвэрийг нийлбэрт хувиргаж $\cos 5\theta$-г гаргаад, баруун талын $\cos 3\theta$-тэй хувирган $\cos 4\theta$-ийг ол.



Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томъёог $*\to+$, нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёог $+\to*$ гэвэл эвтэйхэн байдаг.

Бодолт: Өгөгдсөн нөхцлөөс $$4\cos\theta\cdot \sin \theta\cdot \sin 3\theta=2\sin \theta\cdot \sin 3\theta=\cos 3\theta$$ ба $(\ast \to +)$ -ээр $$-(\cos 5\theta-\cos(-\theta))=\cos 3\theta\Rightarrow\cos 5\theta+\cos 3\theta=\cos \theta,$$ $(+\to\ast)$-ээр $$2\cos\dfrac{5\theta+3\theta}{2}\cdot \cos \dfrac{5\theta-3\theta}{2}=2\cos\dfrac{8\theta}{2}\cdot \cos \dfrac{2\theta}{2}=\cos\theta$$ буюу $2\cos 4\theta\cdot \cos \theta=\cos \theta.$ Иймд $(2\cos 4\theta-1)\cos \theta=0$.

$0^{\circ}< \theta< 90^{\circ} \Rightarrow$ $\cos\theta\ne 0$ тул $\cos 4\theta=\dfrac 12.$ Мөн $0^{\circ}< 4\theta< 360^{\circ}$ $\Rightarrow$ $4\theta=60^{\circ}$, $300^{\circ}\Rightarrow \theta=15^{\circ}$, $75^{\circ}$, $2\theta=30^{\circ}$, $150^{\circ}$ $\Rightarrow$ $\cos 2\theta=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos15^{\circ}$, $\cos 75^{\circ}$ бодож $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$