Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$y=\sin^2\theta$ функцийн үеийг олж, графикийг зур.
$y=\cos^2x+2\sin x+3$, $(0^{\circ}\leq x< 360^{\circ})$ функцийн максимум, минимум утгыг ол.
$0^{\circ} \leq \theta\leq 180^{\circ}$ үед $\sin 2\theta\leq 2\sin \theta$ тэнцэтгэл бишийг батал.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Графикийг зурах үндсэн арга бол $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tg x$-ийн графикийг ашиглах юм. $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$ буюу $y=-\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12.$
$s$-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэх ба $-1\leq s\leq 1$ анхаарч максимум, минимумийг ол.
$A\leq B$ тэнцэтгэл бишийг батлахад $A-B\leq 0$ буюу ялгаварыг хувиргаж тэгээс их багыг тогтооно. $0^{\circ}\leq \theta\leq 180^{\circ}$ тул $\sin\theta\geq 0$, бас $\cos \theta\leq 1$ гэдгийг ашигла.

Бодолт:

$y=-\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12$ функцийн үе нь $\dfrac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}$. Хувиргалтаас график нь $y$-тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй ба утгын муж нь $0\leq y\leq 1$ болох нь хялбар харагдана.
$\sin x=s$ гэвэл $-1\leq s\leq 1$ ба $y=(1-2s^2)+2s+3=-2\left(s-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 92$, $s=\dfrac 12$ үед хамгийн их утга $\dfrac 92$, $s=-1$ үед хамгийн бага утга 0.
$p=2\sin\theta-\sin 2\theta=2\sin \theta-2\sin\theta \cdot \cos\theta=2\sin \theta(1-\cos \theta)$ байна. $0^{\circ}\leq \theta\leq 180^{\circ}$ тул $\sin\theta\geq 0$ ба $1-\cos \theta\geq 0.$ Иймд $p\geq 0$ болж батлагдав.