Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $A, B$ гэсэн дурын олон гишүүнтүүдийн хувьд $A=B\cdot Q+R$ $(\deg R< \deg B)$ байх $Q, R$ олон гишүүнт цорын ганц олддог. Хэрэв $A$ нь $B$-д хуваагддаг бол $R=0$ байна. $B$ нь шугаман олон гишүүнт бол $R$-тогтмол тоо байна. Харин $B$ нь квадрат олон гишүүнт бол $R=ax+b$ хэлбэртэй байна.

Бодолт:

1. $f^\prime (x)=2ax+b$ болно. $$ax^2+bx+c=(2ax+b)(px+q)=2apx^2+(bp+2aq)x+bq$$ гэдгээс $a=2ap, b=bp+2aq, c=bq$ болох тул $$p=\dfrac 12, b=4aq, c=4aq^2$$ Эндээс $f(x)=ax^2+4aqx+4aq^2=a(x+2q)^2=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ болж батлах зүйл батлагдав.
2. 1. $f(x)=(x-\alpha)\cdot Q(x)+R$, энд $R$ нь тогтмол тоо байна. $$f(\alpha)=(\alpha-\alpha)\cdot Q(\alpha)+R=R$$ байна.
   2. $f(x)=(x-\alpha)^2\cdot Q(x)+ax+b, f^\prime (x)=2(x-\alpha)Q(x)+(x-\alpha)^2\cdot Q^\prime (x)+a$ тул $f(\alpha)=a\alpha+b, f^\prime (\alpha)=a$ тул $b=f(\alpha)-a\cdot \alpha=f(\alpha)-f^\prime (\alpha)\cdot \alpha$. Иймд $$R(x)=ax+b=f^\prime (\alpha)x+\left(f(\alpha)-f^\prime (\alpha)\cdot \alpha\right)$$ болов.