Заавар. Титугийн лемм. $$\sum_{i=1}^n\dfrac{u_i^2}{v_i}\ge\dfrac{\Big(\sum_{i=1}^n u_i\Big)^2}{\sum_{i=1}^n v_i}$$

Бодолт. Т. Базарын бодолт.

Титугийн леммээр $$\dfrac{(x-1)^2}{y}+\dfrac{(y-1)^2}{z}\ge\dfrac{(x+y-2)^2}{y+z}=\dfrac{z^2}{y+z}$$ $$\dfrac{(y-1)^2}{z}+\dfrac{(z-1)^2}{x}\ge\dfrac{(y+z-2)^2}{z+x}=\dfrac{x^2}{z+x}$$ $$\dfrac{(z-1)^2}{x}+\dfrac{(x-1)^2}{y}\ge\dfrac{(z+x-2)^2}{x+y}=\dfrac{y^2}{x+y}$$ Эндээс $$\sum_{cyc}\dfrac{(x-1)^2}{y}\ge\dfrac12\left(\dfrac{x^2}{z+x}+\dfrac{y^2}{x+y}+\dfrac{z^2}{y+z}\right)$$ болов. $$\dfrac12\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{z+x}\ge\dfrac14\sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$$ гэж батлахад хангалттай. Баруун гар талыг зүүн гар талд гаргаж хялбарчилбал $$\begin{gather*} \dfrac12\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{z+x}-\dfrac14\sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\dfrac{1}{4}\cdot\Big(\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{x+y}-\sum_{cyc}\dfrac{y^2}{x+y}\Big)\\ =\dfrac14\cdot\sum_{cyc}\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=\dfrac14\cdot\sum_{cyc}(x-y)=0 \end{gather*}$$ болж батлагдав. Тэнцэлдээ $x=y=z=\dfrac23$ үед хүрнэ.