ММО-16, 10-р анги
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин
1. $x^2+y^2+z^2=1980$ тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Натурал тооны квадратыг $16$-д хуваахад зөвхөн $0,1,4,9$ үлдэгдэл өгнө. Нөгөө талаас $1980=16\cdot 123+12$ юм.
$$a+b+c\equiv 12\pmod{16}$$
тэгшитгэл $\{0,1,4,9\}$ олонлогт шийдгүй гэдгийг шууд шалгаж болно. Иймд тэгшитгэл шийдгүй.
2. $a_1,\dots,a_n$ бодит тоонуудаас зохиосон
$$|a_1+\dots+a_k-a_{k+1}-\dots-a_n|,\quad (k=1,2,\dots,n)$$
тоонуудын аль нэг нь $\max |a_i|$-ээс үл хэтэрнэ гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $S_k =\displaystyle{\sum_{i=1}^k} a_i-\displaystyle{\sum_{i=k+1}^n} a_j$ гэж тэмдэглэе. $S_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^n} a_i>0$ гэж үзье. $S_n<0$ байх тохиолдол нь мөн адилаар бодогдох нь бодолтоос харагдана. Иймд
$$S_0 =-S, S_1, S_2,\dots, S_n=S$$
байна. $S_k$ хэмжигдэхүүн нь $S_0=-S<0$ ээс $S_n =S > 0$ хүртэлх бүх утгыг авч байгаа билээ. Иймд $S_k<0$ ба $S_{k+1}\geqslant 0$ байх $k$ дугаар заавал олдоно. Нэгэнт $S_{k+1} = S_k +2x_{k+1}$ тул
$$a_{k+1}=\dfrac{S_{k+1}+(-S_k)}{2}=\dfrac{|S_{k+1}|+|S_k|}{2}$$
буюу $a_{k+1} = |a_{k+1} |$ нь $| S_{k+1}|$ ба $|S_k|$-ийн хооронд оршино. Тухайлбал, $| S_{k+1} |< | S_k|$ гэвэл $| a_{k+1} |\geqslant | S_{k+1} |$ болно. Нэгэнт $\max |a_i|\geqslant |a_k|$ тул бодлого бодогдов.
3. Гурвалжны хамгийн их өнцөг нь $90^\circ$-аас үл хэтрэх бөгөөд $r$ ба $R$ нь түүнд багтсан ба багтаасан тойргийн радиусууд, $m$ нь гурвалжны хамгийн их өндөр бол $r+R\leqslant m$ болохыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $A_1 A_2 A_3$ нь хамгийн их өнцөг нь $90^\circ$-аас үл хэтрэх гурвалжин байг. $\angle A_1\geqslant \angle A_2\geqslant \angle A_3$ гэж үзэж болно. $O$ нь багтаасан тойргийн, $I$ нь багтсан тойргийн төвүүд, $H_i$ нь $A_i$ оройгоос эсрэг талд буулгасан өндрийн сууриуд, $B_1$ нь багтсан тойргийн $A_2 A_3$ талыг, $B_2$ нь багтсан тойргийн $A_1 A_3$ талыг, $B_3$ нь багтсан тойргийн $A_1 A_2$ талыг шүргэсэн цэг нь байг.
Хэрэв $I$ ба $O$ цэг давхацвал $A_1 A_2 A_3$ нь зөв гурвалжин болох ба $r+R = m$ байх нь илэрхий юм.
$$| A_2 B_1 |=r\cdot\ctg{\dfrac{\angle A_2}{2}}\leqslant r\cdot\ctg{\dfrac{\angle A_3}{2}}\leqslant |B_1 A_3|$$
\begin{align*}
\angle OA_3B_1&=\dfrac{1}{2}(\pi-\angle A_3OA_2)=\dfrac{1}{2}(\pi-2\angle A_1)\\
&\leqslant \dfrac{1}{2}(\pi-\angle A_1-\angle A_2)=\dfrac{\angle A_3}{2}=\angle IA_3B_1
\end{align*}
тул $O$ төв нь $B_1A_3I$ гурвалжны дотор юмуу тал дээр нь оршино.
$$\angle H_3A_3I=\dfrac{\angle A_3}{2}-\angle A_1A_3H=\dfrac{\angle A_3}{2}-\left(\dfrac{\pi}{2}-\angle A_1\right)=\dfrac{\angle A_3}{2}-\angle OA_3B_1=\angle OA_3I$$
учир $A_3O$ ба $A_3H_3$ нь $A_3I$-ийн хувьд тэгш хэмтэйгээр байрлана. $A_3I$-ийн хувьд $O$-той тэгш хэмтэйгээр $A_3H_3$ дээр орших цэг нь $O_3$ гэвэл $|A_3O_3|=R$ харин $I$ цэгийн $A_3H_3$ дээрх ортогональ проекц нь $I_3$ гэвэл $|I_3H_3|=r$ болно. $\angle O_3IB_3>\dfrac{\pi}{2}$ тул $O_3$ цэг $|A_3I_3|$ хэрчим дээр оршино. Иймд $r+R\leqslant |A_3H_3|=m$
4. $n,a,b$ нь натурал тоонууд бөгөөд $a>b$, $n>b$, $a^n+b^n=c^n$ бол $c$ нь бүхэл тоо байж чадахгүйг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $a^n+b^n=c^n$ гэдгээс $a
$(a+1)^n=a^n+na^{n-1}+\cdots , b < n$ ба $b^{n-1} < a^{n-1}$ байгаа тул $c^n=a^n+b^n<(a+1)^n$ болно. Эндээс $a< c < a+1$ гэж гарах тул $c$ нь бүхэл тоо байж чадахгүй.
$(a+1)^n=a^n+na^{n-1}+\cdots , b < n$ ба $b^{n-1} < a^{n-1}$ байгаа тул $c^n=a^n+b^n<(a+1)^n$ болно. Эндээс $a< c < a+1$ гэж гарах тул $c$ нь бүхэл тоо байж чадахгүй.
5. $\sin x>0$, $n\in\mathbb N$ бол $n\sin^{n+1}x-(n+1)\sin^nx+1=0$ тэгшитгэлийг бод.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. \begin{align*}
n\sin^{n+1}{x}-n\cdot \sin^n{x}-(\sin^n{x}-1)&=n \sin^n{x}(\sin{x}-1)-(\sin{x}-1)(\sin^{n-1}{x}+\sin^{n-2}{x} +\cdots +1)\\
&=(\sin{x}-1)(n\sin^n{x}-\sin^{n-1}{x}-\cdots-1)=0
\end{align*}
болох ба $0<\sin{x}<1$ бол $\sin^n{x}<\sin^{n-1}{x}<\cdots<\sin{x}< 1$ байх тул
$$n\sin^n{x}-\sin^{n-1}{x}-\cdots-1\ne 0$$
болно. Иймд $\sin{x}= 1$, $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$
6. $x_1,\dots,x_n$ тоонууд нь $1$ ба $-1$-ийн аль нэгтэй тэнцүү ба
$$\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}=0,\ (x_{n+k}=x_k)$$
бол $n$ нь $4$-д хуваагдахыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $y_k=x_kx_{k+1}x_{k+2}x_{k+3}$, $k=1,2,\ldots, n$ гэж авъя. $y_k$ бүр $1$ юмуу $-1$ утгыг авах ба $y_1+\cdots+y_n=0$ билээ. Эндээс $n=2m$ болох ба $y_k$-уудын $m$ нь $1$-тэй, $m$ нь $-1$-тэй тэнцүү байна. Иймд
$$y_1\cdots y_n=(-1)^m$$
болно. Энэ үржвэрт $x_j$ бүр 4 удаа орж байгаа тул
$$y_1\cdots y_n=(-1)^m=\big(\prod x_i\big)^4=1.$$
Иймд $m=2p, n=2m=4p$ болж батлагдав.