ММО-16, 10-р анги
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин
1. x2+y2+z2=1980 тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Натурал тооны квадратыг 16-д хуваахад зөвхөн 0,1,4,9 үлдэгдэл өгнө. Нөгөө талаас 1980=16⋅123+12 юм.
a+b+c\equiv 12\pmod{16}
тэгшитгэл \{0,1,4,9\} олонлогт шийдгүй гэдгийг шууд шалгаж болно. Иймд тэгшитгэл шийдгүй.
2. a_1,\dots,a_n бодит тоонуудаас зохиосон
|a_1+\dots+a_k-a_{k+1}-\dots-a_n|,\quad (k=1,2,\dots,n)
тоонуудын аль нэг нь \max |a_i|-ээс үл хэтэрнэ гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. S_k =\displaystyle{\sum_{i=1}^k} a_i-\displaystyle{\sum_{i=k+1}^n} a_j гэж тэмдэглэе. S_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^n} a_i>0 гэж үзье. S_n<0 байх тохиолдол нь мөн адилаар бодогдох нь бодолтоос харагдана. Иймд
S_0 =-S, S_1, S_2,\dots, S_n=S
байна. S_k хэмжигдэхүүн нь S_0=-S<0 ээс S_n =S > 0 хүртэлх бүх утгыг авч байгаа билээ. Иймд S_k<0 ба S_{k+1}\geqslant 0 байх k дугаар заавал олдоно. Нэгэнт S_{k+1} = S_k +2x_{k+1} тул
a_{k+1}=\dfrac{S_{k+1}+(-S_k)}{2}=\dfrac{|S_{k+1}|+|S_k|}{2}
буюу a_{k+1} = |a_{k+1} | нь | S_{k+1}| ба |S_k|-ийн хооронд оршино. Тухайлбал, | S_{k+1} |< | S_k| гэвэл | a_{k+1} |\geqslant | S_{k+1} | болно. Нэгэнт \max |a_i|\geqslant |a_k| тул бодлого бодогдов.
3. Гурвалжны хамгийн их өнцөг нь 90^\circ-аас үл хэтрэх бөгөөд r ба R нь түүнд багтсан ба багтаасан тойргийн радиусууд, m нь гурвалжны хамгийн их өндөр бол r+R\leqslant m болохыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. A_1 A_2 A_3 нь хамгийн их өнцөг нь 90^\circ-аас үл хэтрэх гурвалжин байг. \angle A_1\geqslant \angle A_2\geqslant \angle A_3 гэж үзэж болно. O нь багтаасан тойргийн, I нь багтсан тойргийн төвүүд, H_i нь A_i оройгоос эсрэг талд буулгасан өндрийн сууриуд, B_1 нь багтсан тойргийн A_2 A_3 талыг, B_2 нь багтсан тойргийн A_1 A_3 талыг, B_3 нь багтсан тойргийн A_1 A_2 талыг шүргэсэн цэг нь байг.
Хэрэв I ба O цэг давхацвал A_1 A_2 A_3 нь зөв гурвалжин болох ба r+R = m байх нь илэрхий юм.
| A_2 B_1 |=r\cdot\ctg{\dfrac{\angle A_2}{2}}\leqslant r\cdot\ctg{\dfrac{\angle A_3}{2}}\leqslant |B_1 A_3|
\begin{align*}
\angle OA_3B_1&=\dfrac{1}{2}(\pi-\angle A_3OA_2)=\dfrac{1}{2}(\pi-2\angle A_1)\\
&\leqslant \dfrac{1}{2}(\pi-\angle A_1-\angle A_2)=\dfrac{\angle A_3}{2}=\angle IA_3B_1
\end{align*}
тул O төв нь B_1A_3I гурвалжны дотор юмуу тал дээр нь оршино.
\angle H_3A_3I=\dfrac{\angle A_3}{2}-\angle A_1A_3H=\dfrac{\angle A_3}{2}-\left(\dfrac{\pi}{2}-\angle A_1\right)=\dfrac{\angle A_3}{2}-\angle OA_3B_1=\angle OA_3I
учир A_3O ба A_3H_3 нь A_3I-ийн хувьд тэгш хэмтэйгээр байрлана. A_3I-ийн хувьд O-той тэгш хэмтэйгээр A_3H_3 дээр орших цэг нь O_3 гэвэл |A_3O_3|=R харин I цэгийн A_3H_3 дээрх ортогональ проекц нь I_3 гэвэл |I_3H_3|=r болно. \angle O_3IB_3>\dfrac{\pi}{2} тул O_3 цэг |A_3I_3| хэрчим дээр оршино. Иймд r+R\leqslant |A_3H_3|=m

4. n,a,b нь натурал тоонууд бөгөөд a>b, n>b, a^n+b^n=c^n бол c нь бүхэл тоо байж чадахгүйг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. a^n+b^n=c^n гэдгээс $a
(a+1)^n=a^n+na^{n-1}+\cdots , b < n ба b^{n-1} < a^{n-1} байгаа тул c^n=a^n+b^n<(a+1)^n болно. Эндээс a< c < a+1 гэж гарах тул c нь бүхэл тоо байж чадахгүй.
(a+1)^n=a^n+na^{n-1}+\cdots , b < n ба b^{n-1} < a^{n-1} байгаа тул c^n=a^n+b^n<(a+1)^n болно. Эндээс a< c < a+1 гэж гарах тул c нь бүхэл тоо байж чадахгүй.
5. \sin x>0, n\in\mathbb N бол n\sin^{n+1}x-(n+1)\sin^nx+1=0 тэгшитгэлийг бод.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. \begin{align*}
n\sin^{n+1}{x}-n\cdot \sin^n{x}-(\sin^n{x}-1)&=n \sin^n{x}(\sin{x}-1)-(\sin{x}-1)(\sin^{n-1}{x}+\sin^{n-2}{x} +\cdots +1)\\
&=(\sin{x}-1)(n\sin^n{x}-\sin^{n-1}{x}-\cdots-1)=0
\end{align*}
болох ба 0<\sin{x}<1 бол \sin^n{x}<\sin^{n-1}{x}<\cdots<\sin{x}< 1 байх тул
n\sin^n{x}-\sin^{n-1}{x}-\cdots-1\ne 0
болно. Иймд \sin{x}= 1, x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}
6. x_1,\dots,x_n тоонууд нь 1 ба -1-ийн аль нэгтэй тэнцүү ба
\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}=0,\ (x_{n+k}=x_k)
бол n нь 4-д хуваагдахыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. y_k=x_kx_{k+1}x_{k+2}x_{k+3}, k=1,2,\ldots, n гэж авъя. y_k бүр 1 юмуу -1 утгыг авах ба y_1+\cdots+y_n=0 билээ. Эндээс n=2m болох ба y_k-уудын m нь 1-тэй, m нь -1-тэй тэнцүү байна. Иймд
y_1\cdots y_n=(-1)^m
болно. Энэ үржвэрт x_j бүр 4 удаа орж байгаа тул
y_1\cdots y_n=(-1)^m=\big(\prod x_i\big)^4=1.
Иймд m=2p, n=2m=4p болж батлагдав.